inversa de f(x)=(5x+4)/(x+5) — solución paso a paso

1) Para una función

\frac{a x + b}{c x + d}

, dos entradas u y v con la misma imagen satisfacen

(a d - b \cdot c) \cdot (u - v) = 0

tras multiplicar por los denominadores. Aquí,

5 \cdot 5 - 4

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≠ 0, por lo que u = v. Así, la función tiene una inversa en su imagen

Expresemos la entrada

x

en función de la salida

y

y = \frac{5 x + 4}{x + 5}

⇥1.1) Resolvamos en

ℝ

\frac{5 x + 4}{x + 5} = y

⇥1.2) Sumemos las fracciones:

\frac{5 x + 4}{x + 5} - y = 0

⇥ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

\frac{5 x + 4}{x + 5} - y

\frac{(5 x + 4) - y \cdot (x + 5)}{x + 5}

⇥

\frac{(5 x + 4) - y \cdot (x + 5)}{x + 5} = 0

⇥

\frac{5 x + 4 - y \cdot (x + 5)}{x + 5} = 0

⇥Un cociente es nulo si y solo si su numerador es nulo y su denominador no nulo: igualamos el numerador a 0 y resolvemos

⇥⇥1.2.1) Resolvamos en

ℝ

5 x + 4 - y \cdot (x + 5) = 0

⇥⇥ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

- y \cdot (x + 5)

- (y x + y \cdot 5)

⇥⇥

5 x + 4 - (y x + y \cdot 5) = 0

⇥⇥ⓘ Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de cada término de su interior:

- (y x + y \cdot 5)

- y \cdot x - y \cdot 5

⇥⇥

5 x

+ 4

- y \cdot x

- y \cdot 5 = 0

⇥⇥

5 x - y x = - 4 + y \cdot 5

⇥⇥

(5 - y) \cdot x = - 4 + y \cdot 5

⇥⇥ⓘ Dividimos ambos miembros por

(5 - y)

, que debe ser no nulo:

y \neq 5

⇥⇥Solución encontrada:

x = \frac{5 y - 4}{5 - y}

⇥⇥1.2.2) Para evitar un denominador nulo, resolvamos:

x + 5 \neq 0

⇥⇥Condición de definición:

x \neq -5

Al renombrar la salida como

x

, la inversa es

\frac{5 x - 4}{5 - x}

, con dominio

x \neq 5

, la condición obtenida al despejar la entrada

▶Función inversa:

\frac{5 x - 4}{5 - x}