inversa de f(x)=(6x+4)/(x-1) — solución paso a paso

1) Para una función

\frac{a x + b}{c x + d}

, dos entradas u y v con la misma imagen satisfacen

(a d - b \cdot c) \cdot (u - v) = 0

tras multiplicar por los denominadores. Aquí,

6 \cdot (-1) - 4

-10

≠ 0, por lo que u = v. Así, la función tiene una inversa en su imagen

Expresemos la entrada

x

en función de la salida

y

y = \frac{6 x + 4}{x - 1}

⇥1.1) Resolvamos en

ℝ

\frac{6 x + 4}{x - 1} = y

⇥1.2) Sumemos las fracciones:

\frac{6 x + 4}{x - 1} - y = 0

⇥ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

\frac{6 x + 4}{x - 1} - y

\frac{(6 x + 4) - y \cdot (x - 1)}{x - 1}

⇥

\frac{(6 x + 4) - y \cdot (x - 1)}{x - 1} = 0

⇥

\frac{6 x + 4 - y \cdot (x - 1)}{x - 1} = 0

⇥Un cociente es nulo si y solo si su numerador es nulo y su denominador no nulo: igualamos el numerador a 0 y resolvemos

⇥⇥1.2.1) Resolvamos en

ℝ

6 x + 4 - y \cdot (x - 1) = 0

⇥⇥ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

- y \cdot (x - 1)

- (y x - y)

⇥⇥

6 x + 4 - (y x - y) = 0

⇥⇥ⓘ Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de cada término de su interior:

- (y x - y)

- y \cdot x + y

⇥⇥

6 x

+ 4

- y \cdot x

+ y = 0

⇥⇥

6 x - y x = - 4 - y

⇥⇥

(6 - y) \cdot x = - 4 - y

⇥⇥ⓘ Dividimos ambos miembros por

(6 - y)

, que debe ser no nulo:

y \neq 6

⇥⇥

x = \frac{- 4 - y}{6 - y}

⇥⇥ⓘ Sacamos el signo menos como factor, cambiando el signo de cada término:

- 4 - y

- (4 + y)

⇥⇥

x = - \frac{4 + y}{6 - y}

⇥⇥Solución encontrada:

x = - \frac{y + 4}{6 - y}

⇥⇥1.2.2) Para evitar un denominador nulo, resolvamos:

x - 1 \neq 0

⇥⇥Condición de definición:

x \neq 1

Al renombrar la salida como

x

, la inversa es

- \frac{x + 4}{6 - x}

, con dominio

x \neq 6

, la condición obtenida al despejar la entrada

▶Función inversa:

- \frac{x + 4}{6 - x}