inversa de f(x)= 1/(x+8) — solución paso a paso

1) Para una función

\frac{a x + b}{c x + d}

, dos entradas u y v con la misma imagen satisfacen

(a d - b \cdot c) \cdot (u - v) = 0

tras multiplicar por los denominadores. Aquí,

0 \cdot 8 - 1

-1

≠ 0, por lo que u = v. Así, la función tiene una inversa en su imagen

Expresemos la entrada

x

en función de la salida

y

y = \frac{1}{x + 8}

⇥1.1) Resolvamos en

ℝ

\frac{1}{x + 8} = y

⇥1.2) Sumemos las fracciones:

\frac{1}{x + 8} - y = 0

⇥ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

\frac{1}{x + 8} - y

\frac{1 - y \cdot (x + 8)}{x + 8}

⇥

\frac{1 - y \cdot (x + 8)}{x + 8} = 0

⇥Un cociente es nulo si y solo si su numerador es nulo y su denominador no nulo: igualamos el numerador a 0 y resolvemos

⇥⇥1.2.1) Resolvamos en

ℝ

1 - y \cdot (x + 8) = 0

⇥⇥ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

- y \cdot (x + 8)

- (y x + y \cdot 8)

⇥⇥

1 - (y x + y \cdot 8) = 0

⇥⇥ⓘ Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de cada término de su interior:

- (y x + y \cdot 8)

- y \cdot x - y \cdot 8

⇥⇥

1 - y \cdot x - y \cdot 8 = 0

⇥⇥

- y x = - 1 + y \cdot 8

⇥⇥ⓘ Dividimos ambos miembros por

- y

, que debe ser no nulo:

y \neq 0

⇥⇥

x = \frac{- 1 + y \cdot 8}{- y}

⇥⇥ⓘ El signo de una fracción se coloca delante de ella, tanto si procede del numerador como del denominador:

\frac{- 1 + y \cdot 8}{- y}

- (\frac{- 1 + y \cdot 8}{y})

⇥⇥

x = - (\frac{- 1 + y \cdot 8}{y})

⇥⇥ⓘ El signo menos de la fracción pasa al numerador o al denominador y cambia el signo de cada uno de sus términos:

- (\frac{- 1 + y \cdot 8}{y})

\frac{1 - y \cdot 8}{y}

⇥⇥

x = \frac{1 - y \cdot 8}{y}

⇥⇥Solución encontrada:

x = \frac{1 - 8 y}{y}

⇥⇥1.2.2) Para evitar un denominador nulo, resolvamos:

x + 8 \neq 0

⇥⇥Condición de definición:

x \neq -8

Al renombrar la salida como

x

, la inversa es

\frac{1 - 8 x}{x}

, con dominio

x \neq 0

, la condición obtenida al despejar la entrada

▶Función inversa:

\frac{1 - 8 x}{x}