inversa de f(x)=-2^x — solución paso a paso

Una exponencial de base positiva distinta de 1 y exponente afín no constante es estrictamente monótona en ℝ y toma todos los valores estrictamente positivos

Expresemos la entrada

x

en función de la salida

y

y = - 2^{x}

⇥1) Resolvamos en

ℝ

- 2^{x} = y

⇥ⓘ Dividimos ambos miembros por

-1

⇥Como el logaritmo solo está definido para números estrictamente positivos, aplicamos la función ln a ambos miembros, siempre que

- y > 0

⇥

\ln (2^{x}) = \ln (- y)

⇥ⓘ En el dominio real de la expresión inicial, la base es estrictamente positiva: el logaritmo de la potencia es el exponente por el logaritmo de la base:

\ln (2^{x})

x \cdot \ln (2)

⇥

x \cdot \ln (2) = \ln (- y)

⇥ⓘ Dividimos ambos miembros por

\ln (2)

⇥Solución encontrada:

x = \frac{\ln (- y)}{\ln (2)}

⇥2) Resolvamos para y:

- y > 0

⇥ⓘ Sumamos

y

a ambos miembros

⇥

0 > y

⇥Solución encontrada:

y < 0

Al renombrar la salida como

x

, la inversa es

\frac{\ln (- x)}{\ln (2)}

, con dominio

x < 0

, la condición obtenida al despejar la entrada

▶Función inversa:

\frac{\ln (- x)}{\ln (2)}