inversa de f(x)=-2sqrt(3x-1)+4 — solución paso a paso

La función es estrictamente monótona en

x \geq \frac{1}{3}

: tiene una inversa en su imagen

y \leq 4

Aislamos la raíz:

\sqrt{3 x - 1} = \frac{y - 4}{-2}

, con

y \leq 4

. Bajo esta condición, elevar al cuadrado da

3 x - 1 = {(\frac{y - 4}{-2})}^{2}

Resolvamos en

ℝ

3 x - 1 = {(\frac{y - 4}{-2})}^{2}

ⓘ El signo de una fracción se coloca delante de ella, tanto si procede del numerador como del denominador:

\frac{y - 4}{-2}

- \frac{y - 4}{2}

■Con un exponente entero par, el signo menos de la base desaparece; con un exponente entero impar, pasa delante de la potencia:

{(- \frac{y - 4}{2})}^{2}

{(\frac{y - 4}{2})}^{2}

3 x - 1 = {(\frac{y - 4}{2})}^{2}

ⓘ Sumamos

1

a ambos miembros

3 x = {(\frac{y - 4}{2})}^{2} + 1

ⓘ La potencia de un cociente es el cociente de las potencias,

{(\frac{a}{b})}^{n} = \frac{a^{n}}{b^{n}}

{(\frac{y - 4}{2})}^{2}

\frac{{(y - 4)}^{2}}{2^{2}}

3 x = \frac{{(y - 4)}^{2}}{2^{2}} + 1

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

2^{2}

2 \cdot 2

4

3 x = \frac{{(y - 4)}^{2}}{4} + 1

ⓘ Elevar una suma a una potencia entera estrictamente positiva consiste en multiplicarla por sí misma tantas veces como indica el exponente:

{(y - 4)}^{2}

(y - 4) \cdot (y - 4)

3 x = \frac{(y - 4) \cdot (y - 4)}{4} + 1

ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

(y - 4) \cdot (y - 4)

y \cdot y

+ y \cdot (-4)

- 4 y

- 4 \cdot (-4)

3 x = \frac{y \cdot y + y \cdot (-4) - 4 y - 4 \cdot (-4)}{4} + 1

ⓘ Multiplicar potencias de la misma base equivale a sumar los exponentes:

y \cdot y

y^{2}

■Colocamos el signo menos delante del producto:

y \cdot (-4)

- 4 y

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas. Dos signos menos se cancelan: el producto de dos números negativos es positivo:

-4 \cdot (-4)

16

3 x = \frac{y^{2} - 4 y - 4 y + 16}{4} + 1

ⓘ Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

- 4 y - 4 y

-8 y

3 x = \frac{y^{2} - 8 y + 16}{4} + 1

ⅰ

\frac{y^{2} - 8 y + 16}{4} + 1

\frac{(y^{2} - 8 y + 16) + 4}{4}

3 x = \frac{(y^{2} - 8 y + 16) + 4}{4}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

16 + 4

20

3 x = \frac{y^{2} - 8 y + 20}{4}

ⓘ Una fracción cuyo numerador es una suma se separa término a término:

\frac{a + b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c}

, para

c \neq 0

\frac{y^{2} - 8 y + 20}{4}

- 2 y + \frac{y^{2} + 20}{4}

3 x = - 2 y + \frac{y^{2} + 20}{4}

ⓘ Dividimos ambos miembros por

3

x = \frac{- 2 y + \frac{y^{2} + 20}{4}}{3}

ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

- 2 y + \frac{y^{2} + 20}{4}

\frac{- 2 y \cdot 4 + (y^{2} + 20)}{4}

x = \frac{\frac{- 2 y \cdot 4 + (y^{2} + 20)}{4}}{3}

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

2 \cdot 4

8

x = \frac{\frac{- 8 y + y^{2} + 20}{4}}{3}

ⓘ Dividir una fracción por

3

equivale a multiplicar su denominador por

3

\frac{\frac{- 8 y + y^{2} + 20}{4}}{3}

\frac{- 8 y + y^{2} + 20}{4 \cdot 3}

x = \frac{- 8 y + y^{2} + 20}{4 \cdot 3}

ⅰ

4 \cdot 3

12

x = \frac{- 8 y + y^{2} + 20}{12}

Solución obtenida:

x = \frac{y^{2} - 8 y + 20}{12}

Al renombrar la salida como

x

, la inversa es

\frac{x^{2} - 8 x + 20}{12}

, con dominio

x \leq 4

▶Función inversa:

(\frac{x^{2} - 8 x + 20}{12} para x \leq 4)