inversa de f(x)=sqrt(4-x)+3 — solución paso a paso

La función es estrictamente monótona en

x \leq 4

: tiene una inversa en su imagen

y \geq 3

Aislamos la raíz:

\sqrt{4 - x} = y - 3

, con

y \geq 3

. Bajo esta condición, elevar al cuadrado da

4 - x = {(y - 3)}^{2}

Resolvamos en

ℝ

4 - x = {(y - 3)}^{2}

ⓘ Agrupamos los términos con

x

a la derecha y los demás a la izquierda

4 - {(y - 3)}^{2} = x

ⓘ Elevar una suma a una potencia entera estrictamente positiva consiste en multiplicarla por sí misma tantas veces como indica el exponente:

{(y - 3)}^{2}

(y - 3) \cdot (y - 3)

4 - (y - 3) \cdot (y - 3) = x

ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

- (y - 3) \cdot (y - 3)

- (y \cdot y

+ y \cdot (-3)

- 3 y

- 3 \cdot (-3))

4 - (y \cdot y

+ y \cdot (-3)

- 3 y

- 3 \cdot (-3)) = x

ⓘ Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de cada término de su interior:

- (y \cdot y

+ y \cdot (-3)

- 3 y

- 3 \cdot (-3))

- y \cdot y

- y \cdot (-3)

+ 3 y

+ 3 \cdot (-3)

4

- y \cdot y

- y \cdot (-3)

+ 3 y

+ 3 \cdot (-3) = x

ⓘ Multiplicar potencias de la misma base equivale a sumar los exponentes:

y \cdot y

y^{2}

■Dos signos menos se cancelan:

- y \cdot (-3)

3 y

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas. Un único signo menos no se cancela: el producto de un número negativo por uno positivo es negativo:

3 \cdot (-3)

-9

4

- y^{2}

+ 3 y

+ 3 y

- 9 = x

ⓘ Partimos de

4

y retrocedemos

9

en la recta numérica, pasando por debajo del cero:

4 - 9

-5

■Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

3 y + 3 y

6 y

- 5 - y^{2} + 6 y = x

Solución encontrada:

x = - y^{2} + 6 y - 5

Al renombrar la salida como

x

, la inversa es

- x^{2} + 6 x - 5

, con dominio

x \geq 3

▶Función inversa:

(- x^{2} + 6 x - 5 para x \geq 3)