inversa de g(x)=(-x-2)/(x+4) — solución paso a paso

1) Sumemos las fracciones:

\frac{- x - 2}{x + 4}

ⓘ Sacamos el signo menos como factor, cambiando el signo de cada término:

- x - 2

- (x + 2)

- \frac{x + 2}{x + 4}

2) Para una función

\frac{a x + b}{c x + d}

, dos entradas u y v con la misma imagen satisfacen

(a d - b \cdot c) \cdot (u - v) = 0

tras multiplicar por los denominadores. Aquí,

4 - 2

2

≠ 0, por lo que u = v. Así, la función tiene una inversa en su imagen

Expresemos la entrada

x

en función de la salida

y

y = - \frac{x + 2}{x + 4}

⇥2.1) Resolvamos en

ℝ

- \frac{x + 2}{x + 4} = y

⇥2.2) Sumemos las fracciones:

- \frac{x + 2}{x + 4} - y = 0

⇥ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

- \frac{x + 2}{x + 4} - y

\frac{- (x + 2) - y \cdot (x + 4)}{x + 4}

⇥

\frac{- (x + 2) - y \cdot (x + 4)}{x + 4} = 0

⇥ⓘ Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de cada término de su interior:

- (x + 2)

- x - 2

■Sacamos el signo menos como factor, cambiando el signo de cada término:

- x - 2 - y \cdot (x + 4)

- (x + 2 + y \cdot (x + 4))

⇥

- \frac{x + 2 + y \cdot (x + 4)}{x + 4} = 0

⇥Un cociente es nulo si y solo si su numerador es nulo y su denominador no nulo: igualamos el numerador a 0 y resolvemos

⇥⇥2.2.1) Resolvamos en

ℝ

- (x + 2 + y \cdot (x + 4)) = 0

⇥⇥ⓘ Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de cada término de su interior:

- (x + 2 + y \cdot (x + 4))

- x - 2 - y \cdot (x + 4)

⇥⇥

- x - 2 - y \cdot (x + 4)

⇥⇥

- x - 2 - y \cdot (x + 4) = 0

⇥⇥ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

- y \cdot (x + 4)

- (y x + y \cdot 4)

⇥⇥

- x - 2 - (y x + y \cdot 4) = 0

⇥⇥ⓘ Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de cada término de su interior:

- (y x + y \cdot 4)

- y \cdot x - y \cdot 4

⇥⇥

- x

- 2

- y \cdot x

- y \cdot 4 = 0

⇥⇥ⓘ Sumamos

2 + y \cdot 4

a ambos miembros

⇥⇥

- x - y x = 2 + y \cdot 4

⇥⇥

(- 1 - y) \cdot x = 2 + y \cdot 4

⇥⇥ⓘ Dividimos ambos miembros por

(- 1 - y)

, que debe ser no nulo:

y \neq -1

⇥⇥

x = \frac{2 + y \cdot 4}{- 1 - y}

⇥⇥ⓘ Sacamos el signo menos como factor, cambiando el signo de cada término:

- 1 - y

- (1 + y)

⇥⇥

x = \frac{2 + y \cdot 4}{- (1 + y)}

⇥⇥ⓘ El signo de una fracción se coloca delante de ella, tanto si procede del numerador como del denominador:

\frac{2 + y \cdot 4}{- (1 + y)}

- \frac{2 + y \cdot 4}{1 + y}

⇥⇥

x = - \frac{2 + y \cdot 4}{1 + y}

⇥⇥Solución encontrada:

x = - \frac{4 y + 2}{y + 1}

⇥⇥2.2.2) Para evitar un denominador nulo, resolvamos:

x + 4 \neq 0

⇥⇥Condición de definición:

x \neq -4

Al renombrar la salida como

x

, la inversa es

- \frac{4 x + 2}{x + 1}

, con dominio

x \neq -1

, la condición obtenida al despejar la entrada

▶Función inversa:

- \frac{4 x + 2}{x + 1}