inversa de ln(-2x+3) — solución paso a paso

El dominio de la función es

x < \frac{3}{2}

El logaritmo de una función afín no constante es estrictamente monótono en su dominio y toma todos los valores reales

Expresemos la entrada

x

en función de la salida

y

y = \ln (- 2 x + 3)

⇥1) Resolvamos en

ℝ

y = \ln (- 2 x + 3)

⇥

\ln (- 2 x + 3) = y

⇥Podemos aplicar la función exp a ambos miembros:

⇥

e^{\ln (- 2 x + 3)} = e^{y}

⇥ⓘ Para

x

real,

\ln (\exp (x)) = x

; cuando

\ln (x)

está definido,

\exp (\ln (x)) = x

e^{\ln (- 2 x + 3)}

- 2 x + 3

⇥

- 2 x + 3 = e^{y}

⇥ⓘ Agrupamos los términos con

x

a la derecha y los demás a la izquierda

⇥

3 - e^{y} = 2 x

⇥ⓘ Dividimos ambos miembros por

2

⇥Candidatos, sujetos al dominio:

x = \frac{3 - e^{y}}{2}

⇥2) Busquemos el dominio de

y = \ln (- 2 x + 3)

⇥ Para que la expresión

\ln (- 2 x + 3)

esté definida, debe cumplirse:

- 2 x + 3 > 0

⇥ⓘ Sumamos

2 x

a ambos miembros

⇥

3 > 2 x

⇥ⓘ Dividimos ambos miembros por

2

⇥Restricciones del dominio:

x < \frac{3}{2}

Al renombrar la salida como

x

, la inversa es

\frac{3 - e^{x}}{2}

, con dominio

x \in ℝ

▶Función inversa:

\frac{3 - e^{x}}{2}