inversa de sqrt(x-1)-4 — solución paso a paso

La función es estrictamente monótona en

x \geq 1

: tiene una inversa en su imagen

y \geq -4

Aislamos la raíz:

\sqrt{x - 1} = y + 4

, con

y \geq -4

. Bajo esta condición, elevar al cuadrado da

x - 1 = {(y + 4)}^{2}

⇥Resolvamos en

ℝ

x - 1 = {(y + 4)}^{2}

⇥ⓘ Sumamos

1

a ambos miembros

⇥

x = {(y + 4)}^{2} + 1

⇥ⓘ Elevar una suma a una potencia entera estrictamente positiva consiste en multiplicarla por sí misma tantas veces como indica el exponente:

{(y + 4)}^{2}

(y + 4) \cdot (y + 4)

⇥

x = (y + 4) \cdot (y + 4) + 1

⇥ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

(y + 4) \cdot (y + 4)

y \cdot y

+ y \cdot 4

+ 4 y

+ 4 \cdot 4

⇥

x = y \cdot y

+ y \cdot 4

+ 4 y

+ 4 \cdot 4

+ 1

⇥ⓘ Multiplicar potencias de la misma base equivale a sumar los exponentes:

y \cdot y

y^{2}

■Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

y \cdot 4 + 4 y

8 y

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

4 \cdot 4

16

⇥

x = y^{2}

+ 8 y

+ 16

+ 1

⇥ⓘ Partimos de

16

y avanzamos

1

en la recta numérica:

16 + 1

17

⇥Solución encontrada:

x = y^{2} + 8 y + 17

Al renombrar la salida como

x

, la inversa es

x^{2} + 8 x + 17

, con dominio

x \geq -4

▶Función inversa:

(x^{2} + 8 x + 17 para x \geq -4)