inversa de x/(x-4) — solución paso a paso

1) Para una función

\frac{a x + b}{c x + d}

, dos entradas u y v con la misma imagen satisfacen

(a d - b \cdot c) \cdot (u - v) = 0

tras multiplicar por los denominadores. Aquí,

-4

-4

≠ 0, por lo que u = v. Así, la función tiene una inversa en su imagen

Expresemos la entrada

x

en función de la salida

y

y = \frac{x}{x - 4}

⇥1.1) Resolvamos en

ℝ

\frac{x}{x - 4} = y

⇥1.2) Sumemos las fracciones:

\frac{x}{x - 4} - y = 0

⇥ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

\frac{x}{x - 4} - y

\frac{x - y \cdot (x - 4)}{x - 4}

⇥

\frac{x - y \cdot (x - 4)}{x - 4} = 0

⇥Un cociente es nulo si y solo si su numerador es nulo y su denominador no nulo: igualamos el numerador a 0 y resolvemos

⇥⇥1.2.1) Resolvamos en

ℝ

x - y \cdot (x - 4) = 0

⇥⇥ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

- y \cdot (x - 4)

- (y x + y \cdot (-4))

⇥⇥

x - (y x + y \cdot (-4)) = 0

⇥⇥ⓘ Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de cada término de su interior:

- (y x + y \cdot (-4))

- y \cdot x - y \cdot (-4)

⇥⇥

x - y \cdot x - y \cdot (-4) = 0

⇥⇥ⓘ Dos signos menos se cancelan:

- y \cdot (-4)

4 y

⇥⇥

x - y x + 4 y = 0

⇥⇥

x - y x = -4 y

⇥⇥

(1 - y) \cdot x = -4 y

⇥⇥ⓘ Dividimos ambos miembros por

(1 - y)

, que debe ser no nulo:

y \neq 1

⇥⇥

x = \frac{-4 y}{1 - y}

⇥⇥

x = - \frac{4 y}{1 - y}

⇥⇥ⓘ El signo menos de la fracción pasa al numerador o al denominador y cambia el signo de cada uno de sus términos:

- \frac{4 y}{1 - y}

\frac{4 y}{- 1 + y}

⇥⇥

x = \frac{4 y}{- 1 + y}

⇥⇥Solución encontrada:

x = \frac{4 y}{y - 1}

⇥⇥1.2.2) Para evitar un denominador nulo, resolvamos:

x - 4 \neq 0

⇥⇥Condición de definición:

x \neq 4

Al renombrar la salida como

x

, la inversa es

\frac{4 x}{x - 1}

, con dominio

x \neq 1

, la condición obtenida al despejar la entrada

▶Función inversa:

\frac{4 x}{x - 1}