inversa de y=(3x-1)/(2x+8) — solución paso a paso

1) Para una función

\frac{a x + b}{c x + d}

, dos entradas u y v con la misma imagen satisfacen

(a d - b \cdot c) \cdot (u - v) = 0

tras multiplicar por los denominadores. Aquí,

3 \cdot 8 - (-1 \cdot 2)

26

≠ 0, por lo que u = v. Así, la función tiene una inversa en su imagen

Expresemos la entrada

x

en función de la salida

y

y = \frac{3 x - 1}{2 x + 8}

⇥1.1) Resolvamos en

ℝ

\frac{3 x - 1}{2 x + 8} = y

⇥1.2) Sumemos las fracciones:

\frac{3 x - 1}{2 x + 8} - y = 0

⇥ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

\frac{3 x - 1}{2 x + 8} - y

\frac{(3 x - 1) - y \cdot (2 x + 8)}{2 x + 8}

⇥

\frac{(3 x - 1) - y \cdot (2 x + 8)}{2 x + 8} = 0

⇥

\frac{3 x - 1 - y \cdot (2 x + 8)}{2 x + 8} = 0

⇥Un cociente es nulo si y solo si su numerador es nulo y su denominador no nulo: igualamos el numerador a 0 y resolvemos

⇥⇥1.2.1) Resolvamos en

ℝ

3 x - 1 - y \cdot (2 x + 8) = 0

⇥⇥ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

- y \cdot (2 x + 8)

- (y \cdot 2 x + y \cdot 8)

⇥⇥

3 x - 1 - (y \cdot 2 x + y \cdot 8) = 0

⇥⇥ⓘ Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de cada término de su interior:

- (y \cdot 2 x + y \cdot 8)

- y \cdot 2 x - y \cdot 8

⇥⇥

3 x

- 1

- y \cdot 2 x

- y \cdot 8 = 0

⇥⇥

3 x - y \cdot 2 x = 1 + y \cdot 8

⇥⇥

(3 - y \cdot 2) \cdot x = 1 + y \cdot 8

⇥⇥ⓘ Dividimos ambos miembros por

(3 - y \cdot 2)

, que debe ser no nulo:

y \neq \frac{3}{2}

⇥⇥Solución encontrada:

x = \frac{8 y + 1}{3 - 2 y}

⇥⇥1.2.2) Para evitar un denominador nulo, resolvamos:

2 x + 8 \neq 0

⇥⇥

2 x \neq -8

⇥⇥ⓘ Dividimos ambos miembros por

2

⇥⇥

x \neq - \frac{8}{2}

⇥⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

- \frac{8}{2}

-4

⇥⇥Condición de definición:

x \neq -4

Al renombrar la salida como

x

, la inversa es

\frac{8 x + 1}{3 - 2 x}

, con dominio

x \neq \frac{3}{2}

, la condición obtenida al despejar la entrada

▶Función inversa:

\frac{8 x + 1}{3 - 2 x}