límite cuando t tiende hacia 1 de (t^3-1)/(t-1)

1) Evaluemos el límite de

\frac{t^{3} - 1}{t - 1}

cuando

t \to 1

ⓘ La potencia de exponente constante es continua aquí: sustituimos la base por su límite

El límite de

t^{3}

1

cuando

t \to 1

ⓘ El límite de una suma con límites finitos es la suma de los límites

El límite de

t^{3} - 1

1 - 1

cuando

t \to 1

⇥1.1) Evaluemos:

1 - 1

⇥ⓘ Partimos de

1

y retrocedemos

1

en la recta numérica, hasta el cero:

1 - 1

0

⇥

0

ⓘ El límite de una suma con límites finitos es la suma de los límites

El límite de

t - 1

1 - 1

cuando

t \to 1

⇥1.2) Evaluemos:

1 - 1

⇥ⓘ Partimos de

1

y retrocedemos

1

en la recta numérica, hasta el cero:

1 - 1

0

⇥

0

Para

\frac{t^{3} - 1}{t - 1}

, obtenemos la forma indeterminada 0/0 cuando

t

tiende a

1

2) Aplicamos la regla de l'Hôpital: el límite de

\frac{a}{b}

es el de

\frac{a'}{b'}

, derivando el numerador y el denominador:

3) Derivemos:

\frac{d}{d t} (t^{3} - 1)

ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d t} (t^{3} - 1)

\frac{d}{d t} (t^{3}) + 0

\frac{d}{d t} (t^{3}) + 0

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

\frac{d}{d t} (t^{3}) + 0

\frac{d}{d t} (t^{3})

■La derivada de

t^{n}

n t^{n - 1}

\frac{d}{d t} (t^{3})

3 t^{2}

3 t^{2}

4) Derivemos:

\frac{d}{d t} (t - 1)

ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d t} (t - 1)

1 + 0

1 + 0

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

1 + 0

1

1

Con las derivadas del numerador y del denominador obtenemos una nueva fracción cuyo límite podemos determinar:

ⓘ La potencia de exponente constante es continua aquí: sustituimos la base por su límite

El límite de

t^{2}

1

cuando

t \to 1

ⓘ El límite de un producto con límites finitos es el producto de los límites

El límite de

3 t^{2}

3

cuando

t \to 1

Por tanto, el límite de

\frac{t^{3} - 1}{t - 1}

3

cuando

t \to 1

▶Límite:

3