límite cuando x tiende hacia 0 de ((tan(5x)))/x

1) Calculemos el límite de

\frac{\tan (5 x)}{x}

cuando

x \to 0

ⓘ El límite de un producto con límites finitos es el producto de los límites

El límite de

5 x

5 \cdot 0

cuando

x \to 0

⇥1.1) Evaluemos:

5 \cdot 0

⇥ⓘ Un producto con un factor nulo es nulo:

5 \cdot 0

0

⇥

0

ⓘ La función tan es continua: su límite es su valor en el límite del argumento

El límite de

\tan (5 x)

\tan (0)

cuando

x \to 0

⇥1.2) Calculemos:

\tan (0)

⇥ⓘ La tangente es el cociente entre la ordenada (eje vertical) y la abscisa (eje horizontal) del punto alcanzado en la circunferencia trigonométrica tras una rotación de

0

radianes desde el semieje horizontal positivo, siempre que la abscisa no sea nula, es un valor notable:

\tan (0)

0

⇥

0

Para

\frac{\tan (5 x)}{x}

, obtenemos la forma indeterminada 0/0 cuando

x

tiende a

0

2) Buscamos un desarrollo limitado de la expresión:

\tan (5 x)

Utilizando la fórmula de Taylor

\tan (A) + (1 + {\tan (A)}^{2}) \cdot (X - A)

de la función tan, calculamos el desarrollo limitado para X=

5 x

en el punto A=

0

de orden N=1

\tan (0) + (1 + {\tan (0)}^{2}) \cdot (5 x + 0)

ⓘ La tangente es el cociente entre la ordenada (eje vertical) y la abscisa (eje horizontal) del punto alcanzado en la circunferencia trigonométrica tras una rotación de

0

radianes desde el semieje horizontal positivo, siempre que la abscisa no sea nula, es un valor notable:

\tan (0)

0

■Sumar 0 no cambia nada:

5 x + 0

5 x

0 + (1 + 0^{2}) \cdot 5 x

3) Repetimos el cálculo utilizando el desarrollo de Taylor:

5 x

\frac{5 x}{x}

ⓘ El denominador inicial debe seguir siendo no nulo. Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por su factor común

x

\frac{5 x}{x}

5

5

Por tanto, el límite de

\frac{\tan (5 x)}{x}

5

cuando

x \to 0

▶Límite:

5