límite cuando x tiende hacia 1 de (ln(x))/(x-1)

1) Calculemos el límite de

\frac{\ln (x)}{x - 1}

cuando

x \to 1

ⓘ La función ln es continua: su límite es su valor en el límite del argumento

El límite de

\ln (x)

\ln (1)

cuando

x \to 1

⇥1.1) Calculemos:

\ln (1)

⇥ⓘ

\ln (1) = 0

, ya que

\exp (0) = 1

\ln (1)

0

⇥

0

ⓘ El límite de una suma con límites finitos es la suma de los límites

El límite de

x - 1

1 - 1

cuando

x \to 1

⇥1.2) Calculemos:

1 - 1

⇥ⓘ Partimos de

1

y retrocedemos

1

en la recta numérica, hasta el cero:

1 - 1

0

⇥

0

Para

\frac{\ln (x)}{x - 1}

, obtenemos la forma indeterminada 0/0 cuando

x

tiende a

1

2) Aplicamos la regla de l'Hôpital: el límite de

\frac{a}{b}

es el de

\frac{a'}{b'}

, derivando el numerador y el denominador:

3) Derivemos:

\frac{d}{d x} (\ln (x))

ⓘ La derivada de

\ln (x)

\frac{1}{x}

\frac{d}{d x} (\ln (x))

\frac{1}{x}

\frac{1}{x}

4) Derivemos:

\frac{d}{d x} (x - 1)

ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (x - 1)

1 + 0

1 + 0

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

1 + 0

1

1

Con las derivadas del numerador y del denominador obtenemos una nueva fracción cuyo límite podemos determinar:

El límite de

\frac{1}{x}

1

cuando

x \to 1

Por tanto, el límite de

\frac{\ln (x)}{x - 1}

1

cuando

x \to 1

▶Límite:

1