límite cuando x tiende hacia 1- de (x^3-1)/(x-1)

1) Calculemos el límite de

\frac{x^{3} - 1}{x - 1}

cuando

x \to 1

⁻

ⓘ La potencia de exponente constante es continua aquí: sustituimos la base por su límite

El límite de

x^{3}

1

cuando

x \to 1

⁻

ⓘ El límite de una suma con límites finitos es la suma de los límites

El límite de

x^{3} - 1

es (

1 - 1

)⁻ cuando

x \to 1

⁻

⇥1.1) Evaluemos:

1 - 1

⇥ⓘ Partimos de

1

y retrocedemos

1

en la recta numérica, hasta el cero:

1 - 1

0

⇥

0

ⓘ El límite de una suma con límites finitos es la suma de los límites

El límite de

x - 1

es (

1 - 1

)⁻ cuando

x \to 1

⁻

⇥1.2) Calculemos:

1 - 1

⇥ⓘ Partimos de

1

y retrocedemos

1

en la recta numérica, hasta el cero:

1 - 1

0

⇥

0

Para

\frac{x^{3} - 1}{x - 1}

, obtenemos la forma indeterminada 0/0 cuando

x

tiende a

1

2) Aplicamos la regla de l'Hôpital: el límite de

\frac{a}{b}

es el de

\frac{a'}{b'}

, derivando el numerador y el denominador:

3) Derivemos:

\frac{d}{d x} (x^{3} - 1)

ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (x^{3} - 1)

\frac{d}{d x} (x^{3}) + 0

\frac{d}{d x} (x^{3}) + 0

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

\frac{d}{d x} (x^{3}) + 0

\frac{d}{d x} (x^{3})

■La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{3})

3 x^{2}

3 x^{2}

4) Derivemos:

\frac{d}{d x} (x - 1)

ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (x - 1)

1 + 0

1 + 0

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

1 + 0

1

1

Con las derivadas del numerador y del denominador obtenemos una nueva fracción cuyo límite podemos determinar:

ⓘ La potencia de exponente constante es continua aquí: sustituimos la base por su límite

El límite de

x^{2}

1

cuando

x \to 1

⁻

ⓘ El límite de un producto con límites finitos es el producto de los límites

El límite de

3 x^{2}

3

cuando

x \to 1

⁻

Por tanto, el límite de

\frac{x^{3} - 1}{x - 1}

3

cuando

x \to 1

⁻

▶Límite:

3