límite x->0 (1-cos(x))/x^2 — solución paso a paso

1) Evaluemos el límite de

\frac{1 - \cos (x)}{x^{2}}

cuando

x \to 0

ⓘ La función cos es continua: su límite es su valor en el límite del argumento

El límite de

- \cos (x)

- \cos (0)

⁺ cuando

x \to 0

⇥1.1) Calculemos:

- \cos (0)

⇥ⓘ El coseno corresponde a la abscisa (eje horizontal) del punto alcanzado en la circunferencia trigonométrica tras una rotación de

0

radianes desde el semieje horizontal positivo, es un valor notable:

- \cos (0)

-1

⇥

-1

ⓘ El límite de una suma con límites finitos es la suma de los límites

El límite de

1 - \cos (x)

es (

1 - 1

)⁺ cuando

x \to 0

⇥1.2) Evaluemos:

1 - 1

⇥ⓘ Partimos de

1

y retrocedemos

1

en la recta numérica, hasta el cero:

1 - 1

0

⇥

0

El límite de

x^{2}

0

⁺ cuando

x \to 0

Para

\frac{1 - \cos (x)}{x^{2}}

, obtenemos la forma indeterminada 0/0 cuando

x

tiende a

0

2) Buscamos un desarrollo limitado de la expresión:

- \cos (x)

Utilizando la fórmula de Taylor

\cos (A) - \sin (A) \cdot (X - A) - \cos (A) \cdot \frac{{(X - A)}^{2}}{2}

de la función cos, calculamos el desarrollo limitado para X=

x

en el punto A=

0

de orden N=2

\cos (0) - \sin (0) \cdot (x + 0) - \cos (0) \cdot \frac{{(x + 0)}^{2}}{2}

ⓘ El coseno corresponde a la abscisa (eje horizontal) del punto alcanzado en la circunferencia trigonométrica tras una rotación de

0

radianes desde el semieje horizontal positivo, es un valor notable:

\cos (0)

1

- \cos (0)

-1

■El seno corresponde a la ordenada (eje vertical) del punto alcanzado en la circunferencia trigonométrica tras una rotación de

0

radianes desde el semieje horizontal positivo, es un valor notable:

\sin (0)

0

■Sumar 0 no cambia nada:

x + 0

x

■Multiplicar una fracción por un número equivale a multiplicar su numerador:

-1 \cdot \frac{x^{2}}{2}

\frac{-1 \cdot x^{2}}{2}

- \frac{x^{2}}{2}

1 + 0 \cdot x - \frac{x^{2}}{2}

ⓘ Un producto con un factor nulo es nulo:

0 \cdot x

0

1 + 0 - \frac{x^{2}}{2}

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

0 - \frac{x^{2}}{2}

- \frac{x^{2}}{2}

1 - \frac{x^{2}}{2}

3) Repetimos el cálculo utilizando el desarrollo de Taylor:

- 1 + \frac{x^{2}}{2}

\frac{1 + (- 1 + \frac{x^{2}}{2})}{x^{2}}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

1 - 1

0

■Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

0 + \frac{x^{2}}{2}

\frac{0 \cdot 2 + x^{2}}{2}

\frac{\frac{0 \cdot 2 + x^{2}}{2}}{x^{2}}

ⓘ Un producto con un factor nulo es nulo:

0 \cdot 2

0

\frac{\frac{0 + x^{2}}{2}}{x^{2}}

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

0 + x^{2}

x^{2}

\frac{\frac{x^{2}}{2}}{x^{2}}

ⓘ Dividir una fracción por

x^{2}

equivale a multiplicar su denominador por

x^{2}

\frac{\frac{x^{2}}{2}}{x^{2}}

\frac{x^{2}}{2 x^{2}}

\frac{x^{2}}{2 x^{2}}

ⓘ El denominador inicial debe seguir siendo no nulo. Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por su factor común

x^{2}

\frac{x^{2}}{2 x^{2}}

\frac{1}{2}

\frac{1}{2}

Por tanto, el límite de

\frac{1 - \cos (x)}{x^{2}}

\frac{1}{2}

cuando

x \to 0

▶Límite:

\frac{1}{2}

4) El valor numérico de:

\frac{1}{2}

vale:

▷

0,5