límite x->0 (e^x-1)/x — solución paso a paso

1) Calculemos el límite de

\frac{e^{x} - 1}{x}

cuando

x \to 0

ⓘ La base tiende a un número estrictamente positivo y el exponente a un número finito: sustituimos estos límites por continuidad

El límite de

e^{x}

1

cuando

x \to 0

ⓘ El límite de una suma con límites finitos es la suma de los límites

El límite de

e^{x} - 1

1 - 1

cuando

x \to 0

Calculemos:

1 - 1

ⓘ Partimos de

1

y retrocedemos

1

en la recta numérica, hasta el cero:

1 - 1

0

0

Para

\frac{e^{x} - 1}{x}

, obtenemos la forma indeterminada 0/0 cuando

x

tiende a

0

2) Aplicamos la regla de l'Hôpital: el límite de

\frac{a}{b}

es el de

\frac{a'}{b'}

, derivando el numerador y el denominador:

3) Derivemos:

\frac{d}{d x} (e^{x} - 1)

ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (e^{x} - 1)

\frac{d}{d x} (e^{x}) + 0

\frac{d}{d x} (e^{x}) + 0

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

\frac{d}{d x} (e^{x}) + 0

\frac{d}{d x} (e^{x})

■La derivada de

\exp (x)

\exp (x)

\frac{d}{d x} (e^{x})

e^{x}

e^{x}

4) Derivemos:

\frac{d}{d x} (x)

ⓘ La derivada de

x

1

\frac{d}{d x} (x)

1

1

Con las derivadas del numerador y del denominador obtenemos una nueva fracción cuyo límite podemos determinar:

Por tanto, el límite de

\frac{e^{x} - 1}{x}

1

cuando

x \to 0

▶Límite:

1