límite x->0 (sqrt(x+1)-1)/x — solución paso a paso

1) Evaluemos el límite de

\frac{\sqrt{x + 1} - 1}{x}

cuando

x \to 0

ⓘ El límite de una suma con límites finitos es la suma de los límites

El límite de

x + 1

1

cuando

x \to 0

ⓘ La función sqrt es continua: su límite es su valor en el límite del argumento

El límite de

\sqrt{x + 1}

\sqrt{1}

cuando

x \to 0

⇥1.1) Evaluemos:

\sqrt{1}

⇥

1

ⓘ El límite de una suma con límites finitos es la suma de los límites

El límite de

\sqrt{x + 1} - 1

1 - 1

cuando

x \to 0

⇥1.2) Evaluemos:

1 - 1

⇥ⓘ Partimos de

1

y retrocedemos

1

en la recta numérica, hasta el cero:

1 - 1

0

⇥

0

Para

\frac{\sqrt{x + 1} - 1}{x}

, obtenemos la forma indeterminada 0/0 cuando

x

tiende a

0

2) Buscamos un desarrollo limitado de la expresión:

\sqrt{x + 1}

Utilizando la fórmula de Taylor

\sqrt{A} + \frac{X - A}{2 \sqrt{A}}

de la función sqrt, calculamos el desarrollo limitado para X=

x + 1

en el punto A=

1

de orden N=1

\sqrt{1} + \frac{x + 1 - 1}{2 \cdot \sqrt{1}}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

1 - 1

0

1 + \frac{x + 0}{2}

3) Repetimos el cálculo utilizando el desarrollo de Taylor:

1 + \frac{x}{2}

\frac{(1 + \frac{x}{2}) - 1}{x}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

1 - 1

0

■Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

0 + \frac{x}{2}

\frac{0 \cdot 2 + x}{2}

\frac{\frac{0 \cdot 2 + x}{2}}{x}

ⓘ Un producto con un factor nulo es nulo:

0 \cdot 2

0

\frac{\frac{0 + x}{2}}{x}

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

0 + x

x

\frac{\frac{x}{2}}{x}

ⓘ Dividir una fracción por

x

equivale a multiplicar su denominador por

x

\frac{\frac{x}{2}}{x}

\frac{x}{2 x}

\frac{x}{2 x}

ⓘ El denominador inicial debe seguir siendo no nulo. Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por su factor común

x

\frac{x}{2 x}

\frac{1}{2}

\frac{1}{2}

Por tanto, el límite de

\frac{\sqrt{x + 1} - 1}{x}

\frac{1}{2}

cuando

x \to 0

▶Límite:

\frac{1}{2}

4) El valor numérico de:

\frac{1}{2}

vale:

▷

0,5