límite x->0 ln(1+x)/x — solución paso a paso

1) Calculemos el límite de

\frac{\ln (1 + x)}{x}

cuando

x \to 0

ⓘ El límite de una suma con límites finitos es la suma de los límites

El límite de

1 + x

1

cuando

x \to 0

ⓘ La función ln es continua: su límite es su valor en el límite del argumento

El límite de

\ln (1 + x)

\ln (1)

cuando

x \to 0

Calculemos:

\ln (1)

ⓘ

\ln (1) = 0

, ya que

\exp (0) = 1

\ln (1)

0

0

Para

\frac{\ln (1 + x)}{x}

, obtenemos la forma indeterminada 0/0 cuando

x

tiende a

0

2) Aplicamos la regla de l'Hôpital: el límite de

\frac{a}{b}

es el de

\frac{a'}{b'}

, derivando el numerador y el denominador:

3) Derivemos:

\frac{d}{d x} (\ln (1 + x))

Utilizamos la fórmula de derivación

\frac{d}{d x} (\ln (f)) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \frac{1}{f}

con f =

1 + x

ⓘ La derivada de

\ln (x)

\frac{1}{x}

\frac{d}{d x} (\ln (1 + x))

\frac{d}{d x} (1 + x) \cdot \frac{1}{1 + x}

\frac{d}{d x} (1 + x) \cdot \frac{1}{1 + x}

ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\frac{d}{d x} (1 + x) \cdot \frac{1}{1 + x}

\frac{\frac{d}{d x} (1 + x) \cdot 1}{1 + x}

\frac{\frac{d}{d x} (1 + x)}{1 + x}

■La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (1 + x)

0 + 1

\frac{0 + 1}{1 + x}

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

0 + 1

1

\frac{1}{1 + x}

4) Derivemos:

\frac{d}{d x} (x)

ⓘ La derivada de

x

1

\frac{d}{d x} (x)

1

1

Con las derivadas del numerador y del denominador obtenemos una nueva fracción cuyo límite podemos determinar:

El límite de

\frac{1}{1 + x}

1

cuando

x \to 0

Por tanto, el límite de

\frac{\ln (1 + x)}{x}

1

cuando

x \to 0

▶Límite:

1