1) Evaluemos el límite de $\frac{\sin \left(2x\right)}{x}$ cuando $x\to 0$

ⓘ El límite de un producto con límites finitos es el producto de los límites

El límite de $2x$ es $2·0$ cuando $x\to 0$

⇥1.1) Evaluemos: $2·0$

⇥ⓘ Un producto con un factor nulo es nulo: $2·0$ = $0$

⇥ $0$

ⓘ La función sin es continua: su límite es su valor en el límite del argumento

El límite de $\sin \left(2x\right)$ es $\sin \left(0\right)$ cuando $x\to 0$

⇥1.2) Evaluemos: $\sin \left(0\right)$

⇥ⓘ El seno corresponde a la ordenada (eje vertical) del punto alcanzado en la circunferencia trigonométrica tras una rotación de $0$ radianes desde el semieje horizontal positivo, es un valor notable: $\sin \left(0\right)$ = $0$

⇥ $0$

Para $\frac{\sin \left(2x\right)}{x}$, obtenemos la forma indeterminada 0/0 cuando $x$ tiende a $0$

2) Buscamos un desarrollo limitado de la expresión: $\sin \left(2x\right)$

Utilizando la fórmula de Taylor $\sin \left(A\right)+\cos \left(A\right)·(X-A)$ de la función sin, calculamos el desarrollo limitado para X=$2x$ en el punto A=$0$ de orden N=1

$\sin \left(0\right)+\cos \left(0\right)·(2x+0)$

ⓘ El seno corresponde a la ordenada (eje vertical) del punto alcanzado en la circunferencia trigonométrica tras una rotación de $0$ radianes desde el semieje horizontal positivo, es un valor notable: $\sin \left(0\right)$ = $0$■El coseno corresponde a la abscisa (eje horizontal) del punto alcanzado en la circunferencia trigonométrica tras una rotación de $0$ radianes desde el semieje horizontal positivo, es un valor notable: $\cos \left(0\right)$ = $1$■Sumar 0 no cambia nada: $2x+0$ = $2x$■Multiplicar por 1 no cambia nada: $1·2x$ = $2x$

$0+2x$

3) Repetimos el cálculo utilizando el desarrollo de Taylor: $2x$

$\frac{2x}{x}$

ⓘ El denominador inicial debe seguir siendo no nulo. Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por su factor común $x$: $\frac{2x}{x}$ = $2$

$2$

Por tanto, el límite de $\frac{\sin \left(2x\right)}{x}$ es $2$ cuando $x\to 0$

▶Límite:   $2$