límite x->0 tan(x)/x — solución paso a paso

1) Calculemos el límite de

\frac{\tan (x)}{x}

cuando

x \to 0

ⓘ La función tan es continua: su límite es su valor en el límite del argumento

El límite de

\tan (x)

\tan (0)

cuando

x \to 0

Calculemos:

\tan (0)

ⓘ La tangente es el cociente entre la ordenada (eje vertical) y la abscisa (eje horizontal) del punto alcanzado en la circunferencia trigonométrica tras una rotación de

0

radianes desde el semieje horizontal positivo, siempre que la abscisa no sea nula, es un valor notable:

\tan (0)

0

0

Para

\frac{\tan (x)}{x}

, obtenemos la forma indeterminada 0/0 cuando

x

tiende a

0

2) Buscamos un desarrollo limitado de la expresión:

\tan (x)

Utilizando la fórmula de Taylor

\tan (A) + (1 + {\tan (A)}^{2}) \cdot (X - A)

de la función tan, calculamos el desarrollo limitado para X=

x

en el punto A=

0

de orden N=1

\tan (0) + (1 + {\tan (0)}^{2}) \cdot (x + 0)

ⓘ La tangente es el cociente entre la ordenada (eje vertical) y la abscisa (eje horizontal) del punto alcanzado en la circunferencia trigonométrica tras una rotación de

0

radianes desde el semieje horizontal positivo, siempre que la abscisa no sea nula, es un valor notable:

\tan (0)

0

■Sumar 0 no cambia nada:

x + 0

x

0 + (1 + 0^{2}) \cdot x

3) Repetimos el cálculo utilizando el desarrollo de Taylor:

x

\frac{x}{x}

ⓘ El denominador inicial debe seguir siendo no nulo. Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por su factor común

x

\frac{x}{x}

1

1

Por tanto, el límite de

\frac{\tan (x)}{x}

1

cuando

x \to 0

▶Límite:

1