límite x->0+ x^{20x} — solución paso a paso

⚠ x^{20x} se interpreta como x^(20x): utiliza ^(...) para agrupar un exponente, utiliza * para multiplicar

1) Evaluemos el límite de

x^{20 x}

cuando

x \to 0

⁺

ⓘ El límite de un producto con límites finitos es el producto de los límites

El límite de

20 x

es (

20 \cdot 0

)⁺ cuando

x \to 0

⁺

Calculemos:

20 \cdot 0

ⓘ Un producto con un factor nulo es nulo:

20 \cdot 0

0

0

Para

x^{20 x}

, obtenemos la forma indeterminada

0^{0}

cuando

x

tiende a

0

Para una base positiva, reescribimos

x^{20 x}

como

\exp (20 x \cdot \ln (x))

y estudiamos el límite de

20 x \cdot \ln (x)

ⓘ Es un límite conocido de la función ln

El límite de

\ln (x)

-∞

cuando

x \to 0

⁺

Para

20 x \cdot \ln (x)

, obtenemos la forma indeterminada

0 \cdot -∞

cuando

x

tiende a

0

2) Para resolver la indeterminación 0 × ∞, reescribimos el producto

20 x \cdot \ln (x)

como el cociente

\frac{\ln (x)}{\frac{1}{20 x}}

ⓘ Un número no nulo dividido por una cantidad que tiende a 0 se hace infinitamente grande; los signos determinan +∞ o -∞

El límite de

\frac{1}{20 x}

+∞

cuando

x \to 0

⁺

Para

\frac{\ln (x)}{\frac{1}{20 x}}

, obtenemos la forma indeterminada

- \frac{+∞}{+∞}

cuando

x

tiende a

0

3) Aplicamos la regla de l'Hôpital: el límite de

\frac{a}{b}

es el de

\frac{a'}{b'}

, derivando el numerador y el denominador:

4) Derivemos:

\frac{d}{d x} (\ln (x))

ⓘ La derivada de

\ln (x)

\frac{1}{x}

\frac{d}{d x} (\ln (x))

\frac{1}{x}

\frac{1}{x}

5) Derivemos:

\frac{d}{d x} (\frac{1}{20 x})

Para

p1

1

q2

20 x

, utilizamos la fórmula de derivación:

\frac{d}{d x} (\frac{p1}{q2}) = \frac{\frac{d}{d x} (p1) \cdot q2 - p1 \cdot \frac{d}{d x} (q2)}{{q2}^{2}}

6) Derivemos

p1

\frac{d}{d x} (1)

ⓘ Derivar una constante da cero:

\frac{d}{d x} (1)

0

0

7) Derivemos

q2

\frac{d}{d x} (20 x)

ⓘ Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (20 x)

20

20

8) Evaluamos la derivada obtenida (

\frac{p1}{q2}

)':

\frac{0 \cdot 20 x - 1 \cdot 20}{{(20 x)}^{2}}

ⓘ Un producto con un factor nulo es nulo:

0 \cdot 20 x

0

\frac{0 - 20}{{(20 x)}^{2}}

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

0 - 20

-20

- \frac{20}{{(20 x)}^{2}}

ⓘ La potencia de un producto es el producto de las potencias:

{(20 x)}^{2}

20^{2} \cdot x^{2}

- \frac{20}{20^{2} \cdot x^{2}}

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

20^{2}

20 \cdot 20

400

- \frac{20}{400 x^{2}}

Simplificamos la fracción

\frac{20}{400}

por el factor común

20

para obtener la nueva fracción:

\frac{1}{20}

- \frac{1}{20 x^{2}}

9) Después continuamos la derivación:

ⅰ

\frac{d}{d x} (\frac{1}{20 x})

- \frac{1}{20 x^{2}}

- \frac{1}{20 x^{2}}

Con las derivadas del numerador y del denominador obtenemos una nueva fracción cuyo límite podemos determinar:

\frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{20 x^{2}}}

ⓘ El signo de una fracción se coloca delante de ella, tanto si procede del numerador como del denominador:

\frac{\frac{1}{x}}{- \frac{1}{20 x^{2}}}

- \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{20 x^{2}}}

- \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{20 x^{2}}}

ⓘ Dividir equivale a multiplicar por el inverso:

- \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{20 x^{2}}}

- \frac{1}{x} \cdot 20 x^{2}

- \frac{1}{x} \cdot 20 x^{2}

ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

- \frac{1}{x} \cdot 20 x^{2}

- \frac{1 \cdot 20 x^{2}}{x}

- \frac{20 x^{2}}{x}

■El denominador inicial debe seguir siendo no nulo. Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por su factor común:

- \frac{20 x^{2}}{x}

-20 x

-20 x

ⓘ El límite de un producto con límites finitos es el producto de los límites

El límite de

- 20 x

es (

- 20 \cdot 0

)⁻ cuando

x \to 0

⁺

Evaluemos:

- 20 \cdot 0

ⓘ Un producto con un factor nulo es nulo:

20 \cdot 0

0

0

El límite de

\frac{\ln (x)}{\frac{1}{20 x}}

0

⁻ cuando

x \to 0

⁺

El límite de

20 x \cdot \ln (x)

0

⁻ cuando

x \to 0

⁺

Por tanto, el límite de

x^{20 x}

1

⁻ cuando

x \to 0

⁺

▶Límite:

1