límite x->1 (x^2-1)/(x-1) — solución paso a paso

1) Evaluemos el límite de

\frac{x^{2} - 1}{x - 1}

cuando

x \to 1

ⓘ La potencia de exponente constante es continua aquí: sustituimos la base por su límite

El límite de

x^{2}

1

cuando

x \to 1

ⓘ El límite de una suma con límites finitos es la suma de los límites

El límite de

x^{2} - 1

1 - 1

cuando

x \to 1

⇥1.1) Evaluemos:

1 - 1

⇥ⓘ Partimos de

1

y retrocedemos

1

en la recta numérica, hasta el cero:

1 - 1

0

⇥

0

ⓘ El límite de una suma con límites finitos es la suma de los límites

El límite de

x - 1

1 - 1

cuando

x \to 1

⇥1.2) Calculemos:

1 - 1

⇥ⓘ Partimos de

1

y retrocedemos

1

en la recta numérica, hasta el cero:

1 - 1

0

⇥

0

Para

\frac{x^{2} - 1}{x - 1}

, obtenemos la forma indeterminada 0/0 cuando

x

tiende a

1

2) Para encontrar el límite, factorizamos el numerador y el denominador:

x^{2} - 1

Para

x^{2} - 1

, reconocemos una diferencia de cuadrados:

x^{2} - 1^{2}

. Aplicamos

a^{2} - b^{2} = (a - b) \cdot (a + b)

, con

a = x

b = 1

Factores encontrados:

(x + 1) \cdot (x - 1)

3) Reduzcamos:

\frac{(x + 1) \cdot (x - 1)}{x - 1}

ⓘ El denominador inicial debe seguir siendo no nulo. Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por su factor común

x - 1

\frac{(x + 1) \cdot (x - 1)}{x - 1}

x + 1

x + 1

ⓘ El límite de una suma con límites finitos es la suma de los límites

El límite de

x + 1

1 + 1

cuando

x \to 1

Evaluemos:

1 + 1

ⓘ Partimos de

1

y avanzamos

1

en la recta numérica:

1 + 1

2

2

Por tanto, el límite de

\frac{x^{2} - 1}{x - 1}

2

cuando

x \to 1

▶Límite:

2