límite x->2 (x^2-4)/(x-2) — solución paso a paso

1) Evaluemos el límite de

\frac{x^{2} - 4}{x - 2}

cuando

x \to 2

ⓘ La potencia de exponente constante es continua aquí: sustituimos la base por su límite

El límite de

x^{2}

2^{2}

cuando

x \to 2

⇥1.1) Evaluemos:

2^{2}

⇥ⓘ Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

2^{2}

2 \cdot 2

4

⇥

4

ⓘ El límite de una suma con límites finitos es la suma de los límites

El límite de

x^{2} - 4

4 - 4

cuando

x \to 2

⇥1.2) Evaluemos:

4 - 4

⇥ⓘ Partimos de

4

y retrocedemos

4

en la recta numérica, hasta el cero:

4 - 4

0

⇥

0

ⓘ El límite de una suma con límites finitos es la suma de los límites

El límite de

x - 2

2 - 2

cuando

x \to 2

⇥1.3) Evaluemos:

2 - 2

⇥ⓘ Partimos de

2

y retrocedemos

2

en la recta numérica, hasta el cero:

2 - 2

0

⇥

0

Para

\frac{x^{2} - 4}{x - 2}

, obtenemos la forma indeterminada 0/0 cuando

x

tiende a

2

2) Para encontrar el límite, factorizamos el numerador y el denominador:

x^{2} - 4

Para

x^{2} - 4

, reconocemos una diferencia de cuadrados:

x^{2} - 2^{2}

. Aplicamos

a^{2} - b^{2} = (a - b) \cdot (a + b)

, con

a = x

b = 2

Factores encontrados:

(x + 2) \cdot (x - 2)

3) Reduzcamos:

\frac{(x + 2) \cdot (x - 2)}{x - 2}

ⓘ El denominador inicial debe seguir siendo no nulo. Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por su factor común

x - 2

\frac{(x + 2) \cdot (x - 2)}{x - 2}

x + 2

x + 2

ⓘ El límite de una suma con límites finitos es la suma de los límites

El límite de

x + 2

2 + 2

cuando

x \to 2

Calculemos:

2 + 2

ⓘ Partimos de

2

y avanzamos

2

en la recta numérica:

2 + 2

4

4

Por tanto, el límite de

\frac{x^{2} - 4}{x - 2}

4

cuando

x \to 2

▶Límite:

4