límite x->3 (x^2-9)/(x-3) — solución paso a paso

1) Evaluemos el límite de

\frac{x^{2} - 9}{x - 3}

cuando

x \to 3

ⓘ La potencia de exponente constante es continua aquí: sustituimos la base por su límite

El límite de

x^{2}

3^{2}

cuando

x \to 3

⇥1.1) Evaluemos:

3^{2}

⇥ⓘ Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

3^{2}

3 \cdot 3

9

⇥

9

ⓘ El límite de una suma con límites finitos es la suma de los límites

El límite de

x^{2} - 9

9 - 9

cuando

x \to 3

⇥1.2) Evaluemos:

9 - 9

⇥ⓘ Partimos de

9

y retrocedemos

9

en la recta numérica, hasta el cero:

9 - 9

0

⇥

0

ⓘ El límite de una suma con límites finitos es la suma de los límites

El límite de

x - 3

3 - 3

cuando

x \to 3

⇥1.3) Calculemos:

3 - 3

⇥ⓘ Partimos de

3

y retrocedemos

3

en la recta numérica, hasta el cero:

3 - 3

0

⇥

0

Para

\frac{x^{2} - 9}{x - 3}

, obtenemos la forma indeterminada 0/0 cuando

x

tiende a

3

2) Para encontrar el límite, factorizamos el numerador y el denominador:

x^{2} - 9

Para

x^{2} - 9

, reconocemos una diferencia de cuadrados:

x^{2} - 3^{2}

. Aplicamos

a^{2} - b^{2} = (a - b) \cdot (a + b)

, con

a = x

b = 3

Factores encontrados:

(x + 3) \cdot (x - 3)

3) Reduzcamos:

\frac{(x + 3) \cdot (x - 3)}{x - 3}

ⓘ El denominador inicial debe seguir siendo no nulo. Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por su factor común

x - 3

\frac{(x + 3) \cdot (x - 3)}{x - 3}

x + 3

x + 3

ⓘ El límite de una suma con límites finitos es la suma de los límites

El límite de

x + 3

3 + 3

cuando

x \to 3

Calculemos:

3 + 3

ⓘ Partimos de

3

y avanzamos

3

en la recta numérica:

3 + 3

6

6

Por tanto, el límite de

\frac{x^{2} - 9}{x - 3}

6

cuando

x \to 3

▶Límite:

6