límite x->8 (sqrt(7+\sqrt[3]{x)}-3)/(x-8)

⚠ (sqrt(7+\sqrt[3]{x)}-3)/(x-8) se interpreta como (sqrt(7+\sqrt[3]{x})-3)/(x-8): el paréntesis final sin pareja cierra el grupo exterior; escribe el paréntesis de cierre después de la llave

1) Evaluemos el límite de

\frac{\sqrt{7 + \sqrt[3]{x}} - 3}{x - 8}

cuando

x \to 8

ⓘ La potencia de exponente constante es continua aquí: sustituimos la base por su límite

El límite de

\sqrt[3]{x}

\sqrt[3]{8}

cuando

x \to 8

⇥1.1) Evaluemos:

\sqrt[3]{8}

⇥ⓘ La raíz de índice

3

es el número cuya potencia

3

es el radicando:

\sqrt[3]{8}

2

ya que

2^{3}

8

⇥

2

ⓘ El límite de una suma con límites finitos es la suma de los límites

El límite de

7 + \sqrt[3]{x}

7 + 2

cuando

x \to 8

⇥1.2) Calculemos:

7 + 2

⇥ⓘ Partimos de

7

y avanzamos

2

en la recta numérica:

7 + 2

9

⇥

9

ⓘ La función sqrt es continua: su límite es su valor en el límite del argumento

El límite de

\sqrt{7 + \sqrt[3]{x}}

\sqrt{9}

cuando

x \to 8

⇥1.3) Evaluemos:

\sqrt{9}

⇥ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{9}

3

ya que

3^{2}

9

⇥

3

ⓘ El límite de una suma con límites finitos es la suma de los límites

El límite de

\sqrt{7 + \sqrt[3]{x}} - 3

3 - 3

cuando

x \to 8

⇥1.4) Calculemos:

3 - 3

⇥ⓘ Partimos de

3

y retrocedemos

3

en la recta numérica, hasta el cero:

3 - 3

0

⇥

0

ⓘ El límite de una suma con límites finitos es la suma de los límites

El límite de

x - 8

8 - 8

cuando

x \to 8

⇥1.5) Evaluemos:

8 - 8

⇥ⓘ Partimos de

8

y retrocedemos

8

en la recta numérica, hasta el cero:

8 - 8

0

⇥

0

Para

\frac{\sqrt{7 + \sqrt[3]{x}} - 3}{x - 8}

, obtenemos la forma indeterminada 0/0 cuando

x

tiende a

8

2) Aplicamos la regla de l'Hôpital: el límite de

\frac{a}{b}

es el de

\frac{a'}{b'}

, derivando el numerador y el denominador:

3) Derivemos:

\frac{d}{d x} (\sqrt{7 + \sqrt[3]{x}} - 3)

ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (\sqrt{7 + \sqrt[3]{x}} - 3)

\frac{d}{d x} (\sqrt{7 + \sqrt[3]{x}}) + 0

\frac{d}{d x} (\sqrt{7 + \sqrt[3]{x}}) + 0

Aplicamos la fórmula de derivación

\frac{d}{d x} (\sqrt{f}) = \frac{d}{d x} (f) \cdot \frac{1}{2 \sqrt{f}}

con f =

7 + \sqrt[3]{x}

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

\frac{d}{d x} (\sqrt{7 + \sqrt[3]{x}}) + 0

\frac{d}{d x} (\sqrt{7 + \sqrt[3]{x}})

■La derivada de

\sqrt{x}

\frac{1}{2 \sqrt{x}}

\frac{d}{d x} (\sqrt{7 + \sqrt[3]{x}})

\frac{d}{d x} (7 + \sqrt[3]{x}) \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{7 + \sqrt[3]{x}}}

\frac{d}{d x} (7 + \sqrt[3]{x}) \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{7 + \sqrt[3]{x}}}

ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\frac{d}{d x} (7 + \sqrt[3]{x}) \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{7 + \sqrt[3]{x}}}

\frac{\frac{d}{d x} (7 + \sqrt[3]{x}) \cdot 1}{2 \cdot \sqrt{7 + \sqrt[3]{x}}}

\frac{\frac{d}{d x} (7 + \sqrt[3]{x})}{2 \cdot \sqrt{7 + \sqrt[3]{x}}}

■La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (7 + \sqrt[3]{x})

0 + \frac{d}{d x} (\sqrt[3]{x})

\frac{0 + \frac{d}{d x} (\sqrt[3]{x})}{2 \cdot \sqrt{7 + \sqrt[3]{x}}}

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

0 + \frac{d}{d x} (\sqrt[3]{x})

\frac{d}{d x} (\sqrt[3]{x})

■La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (\sqrt[3]{x})

\frac{1}{3} \cdot x^{- \frac{2}{3}}

\frac{\frac{1}{3} \cdot x^{- \frac{2}{3}}}{2 \cdot \sqrt{7 + \sqrt[3]{x}}}

ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

\frac{1}{3} \cdot x^{- \frac{2}{3}}

\frac{1 \cdot x^{- \frac{2}{3}}}{3}

\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}

■Pasamos el factor al numerador o al denominador cambiando el signo de su exponente, para una base no nula:

x^{- \frac{2}{3}}

\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}

\frac{\frac{\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}}{3}}{2 \cdot \sqrt{7 + \sqrt[3]{x}}}

ⓘ Dividir una fracción por

3

equivale a multiplicar su denominador por

3

\frac{\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}}{3}

\frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}

■Dividir una fracción por

2 \cdot \sqrt{7 + \sqrt[3]{x}}

equivale a multiplicar su denominador por

2 \cdot \sqrt{7 + \sqrt[3]{x}}

\frac{\frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}}{2 \cdot \sqrt{7 + \sqrt[3]{x}}}

\frac{1}{3 \cdot 2 \sqrt[3]{x^{2}} \cdot \sqrt{7 + \sqrt[3]{x}}}

\frac{1}{3 \cdot 2 \sqrt[3]{x^{2}} \cdot \sqrt{7 + \sqrt[3]{x}}}

ⅰ

3 \cdot 2

6

\frac{1}{6 \sqrt[3]{x^{2}} \cdot \sqrt{7 + \sqrt[3]{x}}}

4) Derivemos:

\frac{d}{d x} (x - 8)

ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (x - 8)

1 + 0

1 + 0

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

1 + 0

1

1

Con las derivadas del numerador y del denominador obtenemos una nueva fracción cuyo límite podemos determinar:

ⓘ La potencia de exponente constante es continua aquí: sustituimos la base por su límite

El límite de

\sqrt[3]{x^{2}}

\sqrt[3]{8^{2}}

cuando

x \to 8

⇥4.1) Evaluemos:

\sqrt[3]{8^{2}}

⇥ⓘ La raíz de índice n de una potencia m es la potencia m de la raíz de índice n; aquí, la raíz de índice

3

8

vale

2

\sqrt[3]{8^{2}}

2^{2}

⇥

2^{2}

⇥ⓘ Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

2^{2}

2 \cdot 2

4

⇥

4

ⓘ El límite de un producto con límites finitos es el producto de los límites

El límite de

6 \sqrt[3]{x^{2}} \cdot \sqrt{7 + \sqrt[3]{x}}

6 \cdot 4 \cdot 3

cuando

x \to 8

⇥4.2) Evaluemos:

6 \cdot 4 \cdot 3

⇥ⅰ

6 \cdot 4

24

⇥

24 \cdot 3

⇥ⅰ

24 \cdot 3

(20 + 4) \cdot 3

20 \cdot 3 + 4 \cdot 3

60 + 12

72

⇥

72

El límite de

\frac{1}{6 \sqrt[3]{x^{2}} \cdot \sqrt{7 + \sqrt[3]{x}}}

\frac{1}{72}

cuando

x \to 8

Por tanto, el límite de

\frac{\sqrt{7 + \sqrt[3]{x}} - 3}{x - 8}

\frac{1}{72}

cuando

x \to 8

▶Límite:

\frac{1}{72}

5) El valor numérico de:

\frac{1}{72}

es:

▷

\approx 1,3889 \times 10^{- 2}