límite x->infinito (1+1/x)^x — solución paso a paso

1) Evaluemos el límite de

{(1 + \frac{1}{x})}^{x}

cuando

x \to +∞

ⓘ Un número dividido por una cantidad que se hace infinitamente grande tiende a 0

El límite de

\frac{1}{x}

0

⁺ cuando

x \to +∞

ⓘ El límite de una suma con límites finitos es la suma de los límites

El límite de

1 + \frac{1}{x}

1

cuando

x \to +∞

Para

{(1 + \frac{1}{x})}^{x}

, obtenemos la forma indeterminada

1^{+∞}

cuando

x

tiende a

+∞

Caso

1^{\pm \infty}

: reescribimos

{(1 + \frac{1}{x})}^{x}

como

\exp (x \cdot \ln (1 + \frac{1}{x}))

y estudiamos el límite de

x \cdot \ln (1 + \frac{1}{x})

ⓘ La función ln es continua: su límite es su valor en el límite del argumento

El límite de

\ln (1 + \frac{1}{x})

\ln (1)

cuando

x \to +∞

Evaluemos:

\ln (1)

ⓘ

\ln (1) = 0

, ya que

\exp (0) = 1

\ln (1)

0

0

Para

x \cdot \ln (1 + \frac{1}{x})

, obtenemos la forma indeterminada

+∞ \cdot 0

cuando

x

tiende a

+∞

Utilizando la fórmula de Taylor

\ln (A) + \sum_{k = 1}^{N} {(-1)}^{k + 1} \cdot \frac{{(X - A)}^{k}}{k A^{k}}

de la función ln, calculamos el desarrollo limitado para X=

1 + \frac{1}{x}

en el punto A=

1

de orden N=1

\ln (1) + \sum_{k = 1}^{1} {(-1)}^{k + 1} \cdot \frac{{(1 + \frac{1}{x} - 1)}^{k}}{k \cdot 1^{k}}

ⓘ

\ln (1) = 0

, ya que

\exp (0) = 1

\ln (1)

0

■Primero calculamos lo que está entre paréntesis:

1 - 1

0

0 + \sum_{k = 1}^{1} {(-1)}^{k + 1} \cdot \frac{{(0 + \frac{1}{x})}^{k}}{k}

ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

0 + \frac{1}{x}

\frac{1}{x}

0 + \sum_{k = 1}^{1} {(-1)}^{k + 1} \cdot \frac{{(\frac{1}{x})}^{k}}{k}

\sum_{k = 1}^{1} {(-1)}^{k + 1} \cdot \frac{{(\frac{1}{x})}^{k}}{k}

■Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

{(-1)}^{k + 1} \cdot \frac{{(\frac{1}{x})}^{k}}{k}

\frac{{(-1)}^{k + 1} \cdot {(\frac{1}{x})}^{k}}{k}

\sum_{k = 1}^{1} \frac{{(-1)}^{k + 1} \cdot {(\frac{1}{x})}^{k}}{k}

ⅰ

\sum_{k = 1}^{1} \frac{{(-1)}^{k + 1} \cdot {(\frac{1}{x})}^{k}}{k}

\frac{{(-1)}^{1 + 1} \cdot {(\frac{1}{x})}^{1}}{1}

\frac{{(-1)}^{1 + 1} \cdot {(\frac{1}{x})}^{1}}{1}

ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

{(-1)}^{1 + 1} \cdot \frac{1}{x}

\frac{{(-1)}^{1 + 1} \cdot 1}{x}

\frac{{(-1)}^{1 + 1}}{x}

■El exponente se calcula antes que la potencia:

1 + 1

2

\frac{{(-1)}^{2}}{x}

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

{(-1)}^{2}

(-1) \cdot (-1)

1

\frac{1}{x}

2) Repetimos el cálculo utilizando el desarrollo de Taylor:

x \cdot \frac{1}{x}

ⓘ Multiplicar una fracción por un término equivale a multiplicar su numerador:

x \cdot \frac{1}{x}

\frac{x \cdot 1}{x}

\frac{x}{x}

■El denominador inicial debe seguir siendo no nulo. Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por su factor común

x

\frac{x}{x}

1

1

El límite de

x \cdot \ln (1 + \frac{1}{x})

1

cuando

x \to +∞

Por tanto, el límite de

{(1 + \frac{1}{x})}^{x}

e

cuando

x \to +∞

▶Límite:

e

3) El valor numérico de:

e

vale:

▷

\approx 2,7183