límite x->infinito x^2/e^x — solución paso a paso

1) Evaluemos el límite de

\frac{x^{2}}{e^{x}}

cuando

x \to +∞

ⓘ Una cantidad infinitamente grande elevada a una potencia positiva sigue siendo infinitamente grande; con una potencia negativa, tiende a 0

El límite de

x^{2}

+∞

cuando

x \to +∞

ⓘ Cuando el exponente tiende a +∞, una base mayor que 1 da un límite infinito y una base estrictamente entre 0 y 1 da un límite nulo

El límite de

e^{x}

+∞

cuando

x \to +∞

Para

\frac{x^{2}}{e^{x}}

, obtenemos la forma indeterminada

\frac{+∞}{+∞}

cuando

x

tiende a

+∞

2) Aplicamos la regla de l'Hôpital: el límite de

\frac{a}{b}

es el de

\frac{a'}{b'}

, derivando el numerador y el denominador:

3) Derivemos:

\frac{d}{d x} (x^{2})

ⓘ La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

2 x

4) Derivemos:

\frac{d}{d x} (e^{x})

ⓘ La derivada de

\exp (x)

\exp (x)

\frac{d}{d x} (e^{x})

e^{x}

e^{x}

Con las derivadas del numerador y del denominador obtenemos una nueva fracción cuyo límite podemos determinar:

ⓘ Una cantidad infinitamente grande multiplicada por una cantidad de límite no nulo sigue siendo infinitamente grande; los signos determinan +∞ o -∞

El límite de

2 x

+∞

cuando

x \to +∞

Para

\frac{2 x}{e^{x}}

, obtenemos la forma indeterminada

\frac{+∞}{+∞}

cuando

x

tiende a

+∞

5) Aplicamos la regla de l'Hôpital: el límite de

\frac{a}{b}

es el de

\frac{a'}{b'}

, derivando el numerador y el denominador:

6) Derivemos:

\frac{d}{d x} (2 x)

ⓘ Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (2 x)

2

2

7) Derivemos:

\frac{d}{d x} (e^{x})

ⓘ La derivada de

\exp (x)

\exp (x)

\frac{d}{d x} (e^{x})

e^{x}

e^{x}

Con las derivadas del numerador y del denominador obtenemos una nueva fracción cuyo límite podemos determinar:

ⓘ Un número dividido por una cantidad que se hace infinitamente grande tiende a 0

El límite de

\frac{2}{e^{x}}

0

⁺ cuando

x \to +∞

El límite de

\frac{2 x}{e^{x}}

0

⁺ cuando

x \to +∞

Por tanto, el límite de

\frac{x^{2}}{e^{x}}

0

⁺ cuando

x \to +∞

▶Límite:

0