límite x->+inf sqrt(x)/x — solución paso a paso

1) Evaluemos el límite de

\frac{\sqrt{x}}{x}

cuando

x \to +∞

ⓘ Es un límite conocido de la función sqrt

El límite de

\sqrt{x}

+∞

cuando

x \to +∞

Para

\frac{\sqrt{x}}{x}

, obtenemos la forma indeterminada

\frac{+∞}{+∞}

cuando

x

tiende a

+∞

2) Aplicamos la regla de l'Hôpital: el límite de

\frac{a}{b}

es el de

\frac{a'}{b'}

, derivando el numerador y el denominador:

3) Derivemos:

\frac{d}{d x} (\sqrt{x})

ⓘ La derivada de

\sqrt{x}

\frac{1}{2 \sqrt{x}}

\frac{d}{d x} (\sqrt{x})

\frac{1}{2 \sqrt{x}}

\frac{1}{2 \sqrt{x}}

4) Derivemos:

\frac{d}{d x} (x)

ⓘ La derivada de

x

1

\frac{d}{d x} (x)

1

1

Con las derivadas del numerador y del denominador obtenemos una nueva fracción cuyo límite podemos determinar:

ⓘ Una cantidad infinitamente grande multiplicada por una cantidad de límite no nulo sigue siendo infinitamente grande; los signos determinan +∞ o -∞

El límite de

2 \sqrt{x}

+∞

cuando

x \to +∞

ⓘ Un número dividido por una cantidad que se hace infinitamente grande tiende a 0

El límite de

\frac{1}{2 \sqrt{x}}

0

⁺ cuando

x \to +∞

Por tanto, el límite de

\frac{\sqrt{x}}{x}

0

⁺ cuando

x \to +∞

▶Límite:

0