límite x->+inf x/e^x — solución paso a paso

1) Calculemos el límite de

\frac{x}{e^{x}}

cuando

x \to +∞

ⓘ Cuando el exponente tiende a +∞, una base mayor que 1 da un límite infinito y una base estrictamente entre 0 y 1 da un límite nulo

El límite de

e^{x}

+∞

cuando

x \to +∞

Para

\frac{x}{e^{x}}

, obtenemos la forma indeterminada

\frac{+∞}{+∞}

cuando

x

tiende a

+∞

2) Aplicamos la regla de l'Hôpital: el límite de

\frac{a}{b}

es el de

\frac{a'}{b'}

, derivando el numerador y el denominador:

3) Derivemos:

\frac{d}{d x} (x)

ⓘ La derivada de

x

1

\frac{d}{d x} (x)

1

1

4) Derivemos:

\frac{d}{d x} (e^{x})

ⓘ La derivada de

\exp (x)

\exp (x)

\frac{d}{d x} (e^{x})

e^{x}

e^{x}

Con las derivadas del numerador y del denominador obtenemos una nueva fracción cuyo límite podemos determinar:

ⓘ Un número dividido por una cantidad que se hace infinitamente grande tiende a 0

El límite de

\frac{1}{e^{x}}

0

⁺ cuando

x \to +∞

Por tanto, el límite de

\frac{x}{e^{x}}

0

⁺ cuando

x \to +∞

▶Límite:

0