límite x->+infinito (exp(x)-1)/(exp(x)-x)

1) Calculemos el límite de

\frac{\exp (x) - 1}{\exp (x) - x}

cuando

x \to +∞

ⓘ Es un límite conocido de la función exp

El límite de

\exp (x)

+∞

cuando

x \to +∞

ⓘ Una cantidad infinitamente grande más una cantidad finita o acotada sigue siendo infinitamente grande

El límite de

\exp (x) - 1

+∞

cuando

x \to +∞

Para

\exp (x) - x

, obtenemos la forma indeterminada

+∞ + -∞

cuando

x

tiende a

+∞

Comparando los crecimientos,

\exp (x)

domina a

x

cuando

x \to +∞

El límite de

\exp (x) - x

+∞

cuando

x \to +∞

Para

\frac{\exp (x) - 1}{\exp (x) - x}

, obtenemos la forma indeterminada

\frac{+∞}{+∞}

cuando

x

tiende a

+∞

2) Para encontrar el límite, dividimos el numerador y el denominador por

\exp (x)

3) Simplifiquemos:

\frac{\exp (x) - 1}{\exp (x)}

ⅰ

\frac{\exp (x) - 1}{\exp (x)}

1 - \frac{1}{\exp (x)}

1 - \frac{1}{\exp (x)}

4) Simplifiquemos:

\frac{\exp (x) - x}{\exp (x)}

ⅰ

\frac{\exp (x) - x}{\exp (x)}

1 - \frac{x}{\exp (x)}

1 - \frac{x}{\exp (x)}

Obtenemos una nueva fracción cuyo límite podemos determinar:

\frac{1 - \frac{1}{\exp (x)}}{1 - \frac{x}{\exp (x)}}

ⓘ Un número dividido por una cantidad que se hace infinitamente grande tiende a 0

El límite de

- \frac{1}{\exp (x)}

0

⁻ cuando

x \to +∞

ⓘ El límite de una suma con límites finitos es la suma de los límites

El límite de

1 - \frac{1}{\exp (x)}

1

cuando

x \to +∞

Para

- \frac{x}{\exp (x)}

, obtenemos la forma indeterminada

\frac{+∞}{+∞}

cuando

x

tiende a

+∞

Comparando los crecimientos,

\exp (x)

domina a

x

cuando

x \to +∞

El límite de

- \frac{x}{\exp (x)}

0

⁻ cuando

x \to +∞

ⓘ El límite de una suma con límites finitos es la suma de los límites

El límite de

1 - \frac{x}{\exp (x)}

1

cuando

x \to +∞

El límite de

\frac{1 - \frac{1}{\exp (x)}}{1 - \frac{x}{\exp (x)}}

1

cuando

x \to +∞

Por tanto, el límite de

\frac{\exp (x) - 1}{\exp (x) - x}

1

cuando

x \to +∞

▶Límite:

1