lim((2*exp(x)+x)/(exp(x)+1), x->+inf)

1) Calculemos el límite de

\frac{2 \exp (x) + x}{\exp (x) + 1}

cuando

x \to +∞

ⓘ Es un límite conocido de la función exp

El límite de

\exp (x)

+∞

cuando

x \to +∞

ⓘ Una cantidad infinitamente grande multiplicada por una cantidad de límite no nulo sigue siendo infinitamente grande; los signos determinan +∞ o -∞

El límite de

2 \exp (x)

+∞

cuando

x \to +∞

ⓘ La suma de dos cantidades que tienden al mismo infinito tiende a ese infinito

El límite de

2 \exp (x) + x

+∞

cuando

x \to +∞

ⓘ Una cantidad infinitamente grande más una cantidad finita o acotada sigue siendo infinitamente grande

El límite de

\exp (x) + 1

+∞

cuando

x \to +∞

Para

\frac{2 \exp (x) + x}{\exp (x) + 1}

, obtenemos la forma indeterminada

\frac{+∞}{+∞}

cuando

x

tiende a

+∞

2) Para encontrar el límite, dividimos el numerador y el denominador por

\exp (x)

3) Reduzcamos:

\frac{2 \exp (x) + x}{\exp (x)}

ⅰ

\frac{2 \exp (x) + x}{\exp (x)}

2 + \frac{x}{\exp (x)}

2 + \frac{x}{\exp (x)}

4) Simplifiquemos:

\frac{\exp (x) + 1}{\exp (x)}

ⅰ

\frac{\exp (x) + 1}{\exp (x)}

1 + \frac{1}{\exp (x)}

1 + \frac{1}{\exp (x)}

Obtenemos una nueva fracción cuyo límite podemos determinar:

\frac{2 + \frac{x}{\exp (x)}}{1 + \frac{1}{\exp (x)}}

Para

\frac{x}{\exp (x)}

, obtenemos la forma indeterminada

\frac{+∞}{+∞}

cuando

x

tiende a

+∞

Comparando los crecimientos,

\exp (x)

domina a

x

cuando

x \to +∞

El límite de

\frac{x}{\exp (x)}

0

⁺ cuando

x \to +∞

ⓘ El límite de una suma con límites finitos es la suma de los límites

El límite de

2 + \frac{x}{\exp (x)}

2

cuando

x \to +∞

ⓘ Un número dividido por una cantidad que se hace infinitamente grande tiende a 0

El límite de

\frac{1}{\exp (x)}

0

⁺ cuando

x \to +∞

ⓘ El límite de una suma con límites finitos es la suma de los límites

El límite de

1 + \frac{1}{\exp (x)}

1

cuando

x \to +∞

El límite de

\frac{2 + \frac{x}{\exp (x)}}{1 + \frac{1}{\exp (x)}}

2

cuando

x \to +∞

Por tanto, el límite de

\frac{2 \exp (x) + x}{\exp (x) + 1}

2

cuando

x \to +∞

▶Límite:

2