lim(sqrt(16*x^4+sin(x))/x, x->+inf)

1) Evaluemos el límite de

\frac{\sqrt{16 x^{4} + \sin (x)}}{x}

cuando

x \to +∞

ⓘ Una cantidad infinitamente grande elevada a una potencia positiva sigue siendo infinitamente grande; con una potencia negativa, tiende a 0

El límite de

x^{4}

+∞

cuando

x \to +∞

ⓘ Una cantidad infinitamente grande multiplicada por una cantidad de límite no nulo sigue siendo infinitamente grande; los signos determinan +∞ o -∞

El límite de

16 x^{4}

+∞

cuando

x \to +∞

El límite de

\sin (x)

no existe pero está acotada en

[-1; 1]

cuando

x \to +∞

ⓘ Una cantidad infinitamente grande más una cantidad finita o acotada sigue siendo infinitamente grande

El límite de

16 x^{4} + \sin (x)

+∞

cuando

x \to +∞

ⓘ Es un límite conocido de la función sqrt

El límite de

\sqrt{16 x^{4} + \sin (x)}

+∞

cuando

x \to +∞

Para

\frac{\sqrt{16 x^{4} + \sin (x)}}{x}

, obtenemos la forma indeterminada

\frac{+∞}{+∞}

cuando

x

tiende a

+∞

2) Para encontrar el límite, extraemos el término dominante como factor y transformamos

16 x^{4} + \sin (x)

16 x^{4} \cdot (1 + \frac{\sin (x)}{16 x^{4}})

\frac{\sqrt{16 x^{4} \cdot (1 + \frac{\sin (x)}{16 x^{4}})}}{x}

ⓘ La raíz de un producto es el producto de las raíces,

\sqrt{a b} = \sqrt{a} \sqrt{b}

\sqrt{16 x^{4} \cdot (1 + \frac{\sin (x)}{16 x^{4}})}

\sqrt{16} \cdot \sqrt{x^{4}} \cdot \sqrt{1 + \frac{\sin (x)}{16 x^{4}}}

\frac{\sqrt{16} \cdot \sqrt{x^{4}} \cdot \sqrt{1 + \frac{\sin (x)}{16 x^{4}}}}{x}

ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{16}

4

ya que

4^{2}

16

■La raíz cuadrada de un cuadrado es el valor absoluto:

\sqrt{x^{4}}

| x^{2} |

\frac{4 \cdot | x^{2} | \cdot \sqrt{1 + \frac{\sin (x)}{16 x^{4}}}}{x}

La expresión dentro del valor absoluto es positiva o nula: su valor absoluto es igual a esa expresión

ⅰ

| x^{2} |

x^{2}

\frac{4 x^{2} \cdot \sqrt{1 + \frac{\sin (x)}{16 x^{4}}}}{x}

Simplificamos la fracción

\frac{x^{2}}{x}

por el factor común

x

para obtener la nueva expresión:

x

4 \cdot x \cdot \sqrt{1 + \frac{\sin (x)}{16 x^{4}}}

ⓘ Una cantidad infinitamente grande multiplicada por una cantidad de límite no nulo sigue siendo infinitamente grande; los signos determinan +∞ o -∞■Una cantidad acotada dividida por una cantidad que se hace infinitamente grande tiende a 0

El límite de

\frac{\sin (x)}{16 x^{4}}

0

cuando

x \to +∞

ⓘ El límite de una suma con límites finitos es la suma de los límites

El límite de

1 + \frac{\sin (x)}{16 x^{4}}

1

cuando

x \to +∞

ⓘ La función sqrt es continua: su límite es su valor en el límite del argumento

El límite de

\sqrt{1 + \frac{\sin (x)}{16 x^{4}}}

\sqrt{1}

cuando

x \to +∞

Calculemos:

\sqrt{1}

1

ⓘ Una cantidad infinitamente grande multiplicada por una cantidad de límite no nulo sigue siendo infinitamente grande; los signos determinan +∞ o -∞

El límite de

4 x \cdot \sqrt{1 + \frac{\sin (x)}{16 x^{4}}}

+∞

cuando

x \to +∞

Por tanto, el límite de

\frac{\sqrt{16 x^{4} + \sin (x)}}{x}

+∞

cuando

x \to +∞

▶Límite:

+∞