ln((x-1)^2)<2 — solución paso a paso

1) Resolvamos en

ℝ

\ln ({(x - 1)}^{2}) < 2

En el dominio del logaritmo, ln es estrictamente creciente:

\ln ({(x - 1)}^{2}) < 2

equivale a

{(x - 1)}^{2} < e^{2}

{(x - 1)}^{2} < e^{2}

Una potencia par solo depende del valor absoluto:

{(x - 1)}^{2} < e^{2}

equivale a

| x - 1 | < e

| x - 1 | < e

| A | < B

equivale a

- B < A < B

- e < x - 1 < e

Sumamos

1

a los tres miembros de la desigualdad doble

- e + 1 < x < e + 1

Candidatos, sujetos al dominio:

x \in] 1 - e; e + 1 [

2) Busquemos el dominio de

\ln ({(x - 1)}^{2}) < 2

Para que la expresión

\ln ({(x - 1)}^{2})

esté definida, debe cumplirse:

{(x - 1)}^{2} > 0

En ℝ, una potencia par siempre es positiva o nula y solo se anula cuando su base es nula

3) Resolvamos en

ℝ

x - 1 = 0

ⓘ Sumamos

1

a ambos miembros

Solución encontrada:

x = 1

Restricciones del dominio:

x \neq 1

▶Solución:

x \in] 1 - e; 1 [\cup] 1; e + 1 [

4) El valor numérico de:

x \in] 1 - e; 1 [\cup] 1; e + 1 [

es:

x \in] 1 - \approx 2,7183; 1 [\cup] 1; \approx 2,7183 + 1 [

▷

x \in] \approx -1,7183; 1 [\cup] 1; \approx 3,7183 [