ln(x)+ln(x+1)=ln(2) — solución paso a paso

1) Resolvamos en

ℝ

\ln (x) + \ln (x + 1) = \ln (2)

ⓘ Para argumentos estrictamente positivos, una suma de logaritmos es el logaritmo del producto y una diferencia es el del cociente,

\ln (a) + \ln (b) = \ln (a b)

\ln (x) + \ln (x + 1)

\ln (x \cdot (x + 1))

\ln (x \cdot (x + 1)) = \ln (2)

En el dominio del logaritmo, ln es estrictamente creciente:

\ln (x \cdot (x + 1)) = \ln (2)

equivale a

x \cdot (x + 1) = 2

ⓘ Restamos

2

a ambos miembros

x \cdot (x + 1) - 2 = 0

ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

x \cdot (x + 1)

x^{2} + x

x^{2} + x - 2 = 0

Dada la forma cuadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 1

b = 1

c = -2

Δ = 1 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)

Δ = 1 - 4 \cdot (-2)

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas. Dos signos menos se cancelan: el producto de dos números negativos es positivo:

- 4 \cdot (-2)

8

Δ = 1 + 8

ⓘ Partimos de

1

y avanzamos

8

en la recta numérica:

1 + 8

9

Δ = 9

Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

La fórmula de segundo grado da

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{- 1 - \sqrt{9}}{2}

ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{9}

3

ya que

3^{2}

9

x_{1} = \frac{- 1 - 3}{2}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

- 1 - 3

-4

x_{1} = - \frac{4}{2}

ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

- \frac{4}{2}

-2

x_{1} = -2

La fórmula de segundo grado da

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{- 1 + \sqrt{9}}{2}

ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{9}

3

ya que

3^{2}

9

x_{2} = \frac{- 1 + 3}{2}

ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

- 1 + 3

2

x_{2} = \frac{2}{2}

ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

\frac{2}{2}

1

x_{2} = 1

Candidatos, sujetos al dominio:

x = {-2; 1}

2) Determinemos el dominio de

\ln (x) + \ln (x + 1) = \ln (2)

Para que la expresión

\ln (x)

esté definida, debe cumplirse:

x > 0

Para que la expresión

\ln (x + 1)

esté definida, debe cumplirse:

x + 1 > 0

Solución obtenida:

x > 0

3) Resolvamos en

ℝ

x + 1 > 0

ⓘ Restamos

1

a ambos miembros

Solución obtenida:

x > -1

La intersección de

x > 0

x > -1

x > 0

Restricciones del dominio:

x > 0

La solución

x = -2

no pertenece al dominio

x > 0

: la descartamos

▶Solución:

x = 1