ln(x)+ln(x+1)=ln(2*x)
1) Resolvamos en ℝ: ln(x) + ln(x + 1) = ln(2x)
ⓘ Para argumentos estrictamente positivos, una suma de logaritmos es el logaritmo del producto y una diferencia es el del cociente, ln(a) + ln(b) = ln(ab): ln(x) + ln(x + 1) = ln(x·(x + 1))
ln(x·(x + 1)) = ln(2x)
Como la función ln es estrictamente creciente, ln(a) = ln(b) equivale a a = b
x·(x + 1) = 2x
Podemos factorizar la expresión x·(x + 1) -2x como x·((x + 1) -2)
Un producto es nulo si y solo si al menos uno de sus factores es nulo: igualamos cada factor a 0 y resolvemos
⇥1.1) Resolvamos en ℝ: x = 0
⇥Candidatos, sujetos al dominio: x = 0
⇥1.2) Resolvamos en ℝ: (x + 1) -2 = 0
⇥ⓘ Partimos de 1 y retrocedemos 2 en la recta numérica, pasando por debajo del cero: 1 -2 = -1
⇥ x -1
⇥Candidatos, sujetos al dominio: x = 1
2) Busquemos el dominio de ln(x) + ln(x + 1) = ln(2x)
Para que la expresión ln(x) esté definida, debe cumplirse: x > 0
Para que la expresión ln(x + 1) esté definida, debe cumplirse: x + 1 > 0
Para que la expresión ln(2x) esté definida, debe cumplirse: 2x > 0
Solución obtenida: x > 0
3) Resolvamos en ℝ: x + 1 > 0
ⓘ Restamos 1 a ambos miembros
Solución encontrada: x > -1
4) Resolvamos en ℝ: 2x > 0
Simplificamos la expresión por 2
⇥Resolvamos en ℝ: x > 0
⇥Solución encontrada: x > 0
Construyamos la tabla de las distintas soluciones para encontrar la solución global:
x-∞ -1 0 +∞
x > 0❌❌❌❌✅
x + 1 > 0❌❌✅✅✅
2x > 0❌❌❌❌✅
Dominio de definición: ❌❌❌❌✅
Restricciones del dominio: x > 0
La solución x = 0 no pertenece al dominio x > 0: la descartamos
▶Solución:   x = 1
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