log(1/2,x)>1 — solución paso a paso

1) Resolvamos en

ℝ

\log (\frac{1}{2}; x) > 1

ⓘ

\log (b; v)

es el logaritmo de

v

en base

b

, es decir,

\frac{\ln (v)}{\ln (b)}

\log (\frac{1}{2}; x)

\frac{\ln (x)}{\ln (\frac{1}{2})}

\frac{\ln (x)}{\ln (\frac{1}{2})} > 1

2) Estudiemos el signo de:

\ln (\frac{1}{2})

\ln (0,5)

\approx -0,6931

Multiplicamos ambos miembros por

\ln (\frac{1}{2})

, que es negativo, por lo que invertimos el sentido de la desigualdad

\ln (x) < \ln (\frac{1}{2})

ⓘ Restamos

\ln (\frac{1}{2})

a ambos miembros

\ln (x) - \ln (\frac{1}{2}) < 0

ⓘ Para argumentos estrictamente positivos, una suma de logaritmos es el logaritmo del producto y una diferencia es el del cociente,

\ln (a) + \ln (b) = \ln (a b)

\ln (x) - \ln (\frac{1}{2})

\ln (\frac{x}{\frac{1}{2}})

\ln (\frac{x}{\frac{1}{2}}) < 0

ⓘ Dividir equivale a multiplicar por el inverso:

\frac{x}{\frac{1}{2}}

x \cdot 2

\ln (x \cdot 2) < 0

Podemos aplicar la función exp a ambos miembros:

e^{\ln (x \cdot 2)} < e^{0}

ⓘ Para

x

real,

\ln (\exp (x)) = x

; cuando

\ln (x)

está definido,

\exp (\ln (x)) = x

e^{\ln (x \cdot 2)}

x \cdot 2

■Todo número no nulo elevado a 0 vale 1:

e^{0}

1

x \cdot 2 < 1

ⓘ Dividimos ambos miembros por

2

Candidatos, sujetos al dominio:

x < \frac{1}{2}

Para que la expresión

\ln (x)

esté definida, debe cumplirse:

x > 0

Restricciones del dominio:

x > 0

▶Solución:

x \in] 0; \frac{1}{2} [

3) El valor numérico de:

x \in] 0; \frac{1}{2} [

es:

▷

x \in] 0; 0,5 [