log(10,x)<2 — solución paso a paso

1) Resolvamos en

ℝ

\log (10; x) < 2

ⓘ

\log (b; v)

es el logaritmo de

v

en base

b

, es decir,

\frac{\ln (v)}{\ln (b)}

\log (10; x)

\frac{\ln (x)}{\ln (10)}

\frac{\ln (x)}{\ln (10)} < 2

2) Estudiemos el signo de:

\ln (10)

\approx 2,3026

\ln (x) < 2 \cdot \ln (10)

ⓘ Restamos

2 \cdot \ln (10)

a ambos miembros

\ln (x) - 2 \cdot \ln (10) < 0

ⓘ Para argumentos estrictamente positivos, una suma de logaritmos es el logaritmo del producto y una diferencia es el del cociente,

\ln (a) + \ln (b) = \ln (a b)

\ln (x) - 2 \cdot \ln (10)

\ln (\frac{x}{10^{2}})

\ln (\frac{x}{10^{2}}) < 0

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

10^{2}

10 \cdot 10

100

\ln (\frac{x}{100}) < 0

Podemos aplicar la función exp a ambos miembros:

e^{\ln (\frac{x}{100})} < e^{0}

ⓘ Para

x

real,

\ln (\exp (x)) = x

; cuando

\ln (x)

está definido,

\exp (\ln (x)) = x

e^{\ln (\frac{x}{100})}

\frac{x}{100}

■Todo número no nulo elevado a 0 vale 1:

e^{0}

1

\frac{x}{100} < 1

Candidatos, sujetos al dominio:

x < 100

Para que la expresión

\ln (x)

esté definida, debe cumplirse:

x > 0

Restricciones del dominio:

x > 0

▶Solución:

x \in] 0; 100 [