log(2,x)=3 — solución paso a paso

Resolvamos en

ℝ

\log (2; x) = 3

ⓘ

\log (b; v)

es el logaritmo de

v

en base

b

, es decir,

\frac{\ln (v)}{\ln (b)}

\log (2; x)

\frac{\ln (x)}{\ln (2)}

\frac{\ln (x)}{\ln (2)} = 3

\ln (x) = 3 \cdot \ln (2)

ⓘ Restamos

3 \cdot \ln (2)

a ambos miembros

\ln (x) - 3 \cdot \ln (2) = 0

ⓘ Para argumentos estrictamente positivos, una suma de logaritmos es el logaritmo del producto y una diferencia es el del cociente,

\ln (a) + \ln (b) = \ln (a b)

\ln (x) - 3 \cdot \ln (2)

\ln (\frac{x}{2^{3}})

\ln (\frac{x}{2^{3}}) = 0

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

2^{3}

2 \cdot 2 \cdot 2

8

\ln (\frac{x}{8}) = 0

Podemos aplicar la función exp a ambos miembros:

e^{\ln (\frac{x}{8})} = e^{0}

ⓘ Para

x

real,

\ln (\exp (x)) = x

; cuando

\ln (x)

está definido,

\exp (\ln (x)) = x

e^{\ln (\frac{x}{8})}

\frac{x}{8}

■Todo número no nulo elevado a 0 vale 1:

e^{0}

1

\frac{x}{8} = 1

Candidatos, sujetos al dominio:

x = 8

Para que la expresión

\ln (x)

esté definida, debe cumplirse:

x > 0

Restricciones del dominio:

x > 0

▶Solución:

x = 8