-2/x >-(5x)/(x^2+6) — solución paso a paso

1) Resolvamos en

ℝ

- \frac{2}{x} > - \frac{5 x}{x^{2} + 6}

2) Sumemos las fracciones:

- \frac{2}{x} + \frac{5 x}{x^{2} + 6} > 0

ⓘ Para sumar fracciones, las reducimos a un denominador común y sumamos los numeradores:

- \frac{2}{x} + \frac{5 x}{x^{2} + 6}

\frac{- 2 \cdot (x^{2} + 6) + 5 x \cdot x}{x \cdot (x^{2} + 6)}

\frac{- 2 \cdot (x^{2} + 6) + 5 x \cdot x}{x \cdot (x^{2} + 6)} > 0

ⓘ Multiplicar potencias de la misma base equivale a sumar los exponentes:

x \cdot x

x^{2}

\frac{- 2 \cdot (x^{2} + 6) + 5 x^{2}}{x \cdot (x^{2} + 6)} > 0

Estudiamos el signo del numerador

⇥2.1) Estudiemos el signo de

- 2 \cdot (x^{2} + 6) + 5 x^{2}

resolviendo en

ℝ

- 2 \cdot (x^{2} + 6) + 5 x^{2} > 0

⇥ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

- 2 \cdot (x^{2} + 6)

- (2 x^{2} + 12)

⇥

- (2 x^{2} + 12) + 5 x^{2} > 0

⇥ⓘ Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de cada término de su interior:

- (2 x^{2} + 12)

- 2 x^{2} - 12

⇥

- 2 x^{2} - 12 + 5 x^{2} > 0

⇥ⓘ Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

- 2 x^{2} + 5 x^{2}

3 x^{2}

⇥

3 x^{2} - 12 > 0

⇥Como

3 > 0

, dividimos ambos miembros por

3

sin cambiar el sentido de la desigualdad:

x^{2} - 4 > 0

⇥Una potencia par solo depende del valor absoluto:

x^{2} > 4

equivale a

| x | > 2

⇥De

| A | > B

deducimos:

A > B

A < - B

Estudiamos el signo del denominador, que no debe anularse

⇥2.2) Resolvamos en

ℝ

x \cdot (x^{2} + 6) > 0

⇥Estudiamos el signo de cada factor del producto

⇥⇥La expresión

x

se anula en

x = 0

(valor excluido) y es negativa antes y positiva después

⇥Estudiemos el signo de

x^{2} + 6

resolviendo en

ℝ

x^{2} + 6 > 0

⇥En ℝ, una potencia par nunca es negativa:

x^{2} > -6

se cumple para todo

x

⇥La relación simplificada siempre se cumple; aún hay que respetar el dominio de la expresión inicial

⇥⇥Por tanto, la expresión

x^{2} + 6

siempre es positiva

3) Construyamos la tabla de signos:

Candidatos, sujetos al dominio:

x \in] -2; 0 [\cup] 2; +∞ [

4) Busquemos el dominio de

- \frac{2}{x} > - \frac{5 x}{x^{2} + 6}

Para que la expresión

- \frac{2}{x}

esté definida, debe cumplirse:

x \neq 0

Para que la expresión

- \frac{5 x}{x^{2} + 6}

esté definida, debe cumplirse:

x^{2} + 6 \neq 0

La condición

x^{2} + 6 \neq 0

siempre se cumple en su dominio real

Restricciones del dominio:

x \neq 0

▶Solución:

x \in] -2; 0 [\cup] 2; +∞ [