-3*(x+1)^2-12<0 — solución paso a paso

Resolvamos en

ℝ

- 3 \cdot {(x + 1)}^{2} - 12 < 0

ⓘ Elevar una suma a una potencia entera estrictamente positiva consiste en multiplicarla por sí misma tantas veces como indica el exponente:

{(x + 1)}^{2}

(x + 1) \cdot (x + 1)

- 3 \cdot (x + 1) \cdot (x + 1) - 12 < 0

ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

3 \cdot (x + 1)

3 x + 3

- (3 x + 3) \cdot (x + 1) - 12 < 0

ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

- (3 x + 3) \cdot (x + 1)

- (3 \cdot x \cdot x

+ 3 x \cdot 1

+ 3 x

+ 3 \cdot 1)

- (3 \cdot x \cdot x

+ 3 x \cdot 1

+ 3 x

+ 3 \cdot 1) - 12 < 0

ⓘ Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de cada término de su interior:

- (3 \cdot x \cdot x

+ 3 x \cdot 1

+ 3 x

+ 3 \cdot 1)

- 3 \cdot x \cdot x

- 3 x \cdot 1

- 3 x

- 3 \cdot 1

- 3 \cdot x \cdot x

- 3 x \cdot 1

- 3 x

- 3 \cdot 1

- 12 < 0

ⓘ Multiplicar potencias de la misma base equivale a sumar los exponentes:

x \cdot x

x^{2}

- 3 x^{2}

- 3 x

- 3 x

- 3

- 12 < 0

ⓘ Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

- 3 x - 3 x

-6 x

■Partimos de

-3

y retrocedemos otros

12

en la recta numérica, alejándonos del cero:

- 3 - 12

-15

- 3 x^{2} - 6 x - 15 < 0

Como

-3 < 0

, dividimos ambos miembros por

-3

invirtiendo el sentido de la desigualdad:

x^{2} + 2 x + 5 > 0

Dada la forma cuadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 1

b = 2

c = 5

Δ = 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

2^{2}

2 \cdot 2

4

Δ = 4 - 4 \cdot 5

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

4 \cdot 5

20

Δ = 4 - 20

ⓘ Partimos de

4

y retrocedemos

20

en la recta numérica, pasando por debajo del cero:

4 - 20

-16

Δ = -16

El trinomio no tiene raíces reales: siempre tiene el signo de a (

1

), por lo que es positivo para todo

x

▶Solución encontrada:

x \in ℝ