-4g^2-68g=172 — solución paso a paso

1) Resolvamos en

ℝ

- 4 g^{2} - 68 g = 172

Como

-4 \neq 0

, dividimos ambos miembros por

-4

g^{2} + 17 g = -43

g^{2} + 17 g + 43 = 0

Dada la forma cuadrática

a g^{2} + b g + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 1

b = 17

c = 43

Δ = 17^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 43

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

17^{2}

17 \cdot 17

289

Δ = 289 - 4 \cdot 43

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

4 \cdot 43

4 \cdot (40 + 3)

4 \cdot 40 + 4 \cdot 3

160 + 12

172

Δ = 289 - 172

ⓘ Partimos de

289

y retrocedemos

172

en la recta numérica:

289 - 172

117

Δ = 117

Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

La fórmula de segundo grado da

g_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 17 - \sqrt{117}}{2 \cdot 1}

g_{1} = \frac{- 17 - \sqrt{117}}{2}

ⓘ Buscamos el mayor cuadrado que divide a

117

9

3^{2}

, y lo extraemos de la raíz:

\sqrt{117}

\sqrt{9 \cdot 13}

\sqrt{9} \cdot \sqrt{13}

3 \cdot \sqrt{13}

■Sacamos el signo menos como factor, cambiando el signo de cada término:

- 17 - 3 \cdot \sqrt{13}

- (17 + 3 \cdot \sqrt{13})

g_{1} = - \frac{17 + 3 \cdot \sqrt{13}}{2}

La fórmula de segundo grado da

g_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 17 + \sqrt{117}}{2 \cdot 1}

g_{2} = \frac{- 17 + \sqrt{117}}{2}

ⓘ Buscamos el mayor cuadrado que divide a

117

9

3^{2}

, y lo extraemos de la raíz:

\sqrt{117}

\sqrt{9 \cdot 13}

\sqrt{9} \cdot \sqrt{13}

3 \cdot \sqrt{13}

g_{2} = \frac{- 17 + 3 \cdot \sqrt{13}}{2}

▶Soluciones obtenidas:

g = {- \frac{17 + 3 \cdot \sqrt{13}}{2}; \frac{3 \cdot \sqrt{13} - 17}{2}}

2) El valor numérico de:

g = {- \frac{17 + 3 \cdot \sqrt{13}}{2}; \frac{3 \cdot \sqrt{13} - 17}{2}}

vale:

g = {\approx - \frac{17 + 3 \cdot 3,6056}{2}; \approx \frac{3 \cdot 3,6056 - 17}{2}}

g = {\approx - \frac{17 + 10,8167}{2}; \approx \frac{10,8167 - 17}{2}}

g = {\approx - \frac{27,8167}{2}; \approx - \frac{6,1833}{2}}

▷

g = {\approx -13,9083; \approx -3,0917}