-x^2+6x+3=0 — solución paso a paso

1) Resolvamos en

ℝ

- x^{2} + 6 x + 3 = 0

Como

-1 \neq 0

, dividimos ambos miembros por

-1

x^{2} - 6 x - 3 = 0

Dada la forma cuadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 1

b = -6

c = -3

Δ = {(-6)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-3)

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

{(-6)}^{2}

(-6) \cdot (-6)

36

Δ = 36 - 4 \cdot (-3)

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas. Dos signos menos se cancelan: el producto de dos números negativos es positivo:

- 4 \cdot (-3)

12

Δ = 36 + 12

ⓘ Partimos de

36

y avanzamos

12

en la recta numérica:

36 + 12

48

Δ = 48

Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

La fórmula de segundo grado da

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-6) - \sqrt{48}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{6 - \sqrt{48}}{2}

ⓘ Buscamos el mayor cuadrado que divide a

48

16

4^{2}

, y lo extraemos de la raíz:

\sqrt{48}

\sqrt{16 \cdot 3}

\sqrt{16} \cdot \sqrt{3}

4 \cdot \sqrt{3}

x_{1} = \frac{6 - 4 \cdot \sqrt{3}}{2}

ⓘ Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

\frac{6 - 4 \cdot \sqrt{3}}{2}

\frac{2 \cdot (3 - 2 \cdot \sqrt{3})}{2}

3 - 2 \cdot \sqrt{3}

x_{1} = 3 - 2 \cdot \sqrt{3}

La fórmula de segundo grado da

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-6) + \sqrt{48}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{6 + \sqrt{48}}{2}

ⓘ Buscamos el mayor cuadrado que divide a

48

16

4^{2}

, y lo extraemos de la raíz:

\sqrt{48}

\sqrt{16 \cdot 3}

\sqrt{16} \cdot \sqrt{3}

4 \cdot \sqrt{3}

x_{2} = \frac{6 + 4 \cdot \sqrt{3}}{2}

ⓘ Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

\frac{6 + 4 \cdot \sqrt{3}}{2}

\frac{2 \cdot (3 + 2 \cdot \sqrt{3})}{2}

3 + 2 \cdot \sqrt{3}

x_{2} = 3 + 2 \cdot \sqrt{3}

▶Soluciones obtenidas:

x = {3 - 2 \cdot \sqrt{3}; 3 + 2 \cdot \sqrt{3}}

2) El valor numérico de:

x = {3 - 2 \cdot \sqrt{3}; 3 + 2 \cdot \sqrt{3}}

es:

x = {\approx 3 - 2 \cdot 1,7321; \approx 3 + 2 \cdot 1,7321}

x = {\approx 3 - 3,4641; \approx 3 + 3,4641}

▷

x = {\approx -0,4641; \approx 6,4641}