-x^2-6x+6=0 — solución paso a paso

1) Resolvamos en

ℝ

- x^{2} - 6 x + 6 = 0

Como

-1 \neq 0

, dividimos ambos miembros por

-1

x^{2} + 6 x - 6 = 0

Dada la forma cuadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 1

b = 6

c = -6

Δ = 6^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-6)

ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

6^{2}

6 \cdot 6

36

Δ = 36 - 4 \cdot (-6)

ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas. Dos signos menos se cancelan: el producto de dos números negativos es positivo:

- 4 \cdot (-6)

24

Δ = 36 + 24

ⓘ Partimos de

36

y avanzamos

24

en la recta numérica:

36 + 24

60

Δ = 60

Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

La fórmula de segundo grado da

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 6 - \sqrt{60}}{2 \cdot 1}

x_{1} = \frac{- 6 - \sqrt{60}}{2}

ⓘ Buscamos el mayor cuadrado que divide a

60

4

2^{2}

, y lo extraemos de la raíz:

\sqrt{60}

\sqrt{4 \cdot 15}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{15}

2 \cdot \sqrt{15}

■Sacamos el signo menos como factor, cambiando el signo de cada término:

- 6 - 2 \cdot \sqrt{15}

- (6 + 2 \cdot \sqrt{15})

x_{1} = - \frac{6 + 2 \cdot \sqrt{15}}{2}

ⓘ Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

- \frac{6 + 2 \cdot \sqrt{15}}{2}

- \frac{2 \cdot (3 + \sqrt{15})}{2}

- (3 + \sqrt{15})

x_{1} = - (3 + \sqrt{15})

ⓘ Un signo menos delante de un paréntesis cambia el signo de cada término de su interior:

- (3 + \sqrt{15})

- 3 - \sqrt{15}

x_{1} = - 3 - \sqrt{15}

La fórmula de segundo grado da

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 6 + \sqrt{60}}{2 \cdot 1}

x_{2} = \frac{- 6 + \sqrt{60}}{2}

ⓘ Buscamos el mayor cuadrado que divide a

60

4

2^{2}

, y lo extraemos de la raíz:

\sqrt{60}

\sqrt{4 \cdot 15}

\sqrt{4} \cdot \sqrt{15}

2 \cdot \sqrt{15}

x_{2} = \frac{- 6 + 2 \cdot \sqrt{15}}{2}

ⓘ Simplificamos una fracción dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número no nulo:

\frac{- 6 + 2 \cdot \sqrt{15}}{2}

\frac{2 \cdot (- 3 + \sqrt{15})}{2}

- 3 + \sqrt{15}

x_{2} = - 3 + \sqrt{15}

▶Soluciones encontradas:

x = {- \sqrt{15} - 3; \sqrt{15} - 3}

2) El valor numérico de:

x = {- \sqrt{15} - 3; \sqrt{15} - 3}

vale:

x = {\approx - 3,8730 - 3; \approx 3,8730 - 3}

▷

x = {\approx -6,8730; \approx 0,8730}