puntos críticos de f(x)=4x^3+7x^2-20x+9

1) Un polinomio es derivable en ℝ: sus puntos críticos son los ceros de su derivada

⇥1.1) Derivemos:

\frac{d}{d x} (4 x^{3} + 7 x^{2} - 20 x + 9)

⇥ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (4 x^{3} + 7 x^{2} - 20 x + 9)

\frac{d}{d x} (4 x^{3})

+ \frac{d}{d x} (7 x^{2})

+ \frac{d}{d x} (- 20 x)

+ 0

⇥

\frac{d}{d x} (4 x^{3})

+ \frac{d}{d x} (7 x^{2})

+ \frac{d}{d x} (- 20 x)

+ 0

⇥ⓘ Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (4 x^{3})

4 \cdot \frac{d}{d x} (x^{3})

\frac{d}{d x} (7 x^{2})

7 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})

\frac{d}{d x} (- 20 x)

-20

■La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{3})

3 x^{2}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

■Sumar 0 no cambia nada:

\frac{d}{d x} (- 20 x) + 0

\frac{d}{d x} (- 20 x)

⇥

4 \cdot 3 x^{2} + 7 \cdot 2 x - 20

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

4 \cdot 3

12

7 \cdot 2

14

⇥

12 x^{2} + 14 x - 20

⇥1.2) Resolvamos en

ℝ

12 x^{2} + 14 x - 20 = 0

⇥Como

2 \neq 0

, dividimos ambos miembros por

2

6 x^{2} + 7 x - 10 = 0

⇥Dada la forma cuadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 6

b = 7

c = -10

⇥

Δ = 7^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (-10)

⇥ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

7^{2}

7 \cdot 7

49

■Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

4 \cdot 6

24

■Dos signos menos se cancelan: el producto de dos números negativos es positivo:

- 24 \cdot (-10)

24 \cdot 10

⇥

Δ = 49 + 24 \cdot 10

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

24 \cdot 10

(20 + 4) \cdot 10

20 \cdot 10 + 4 \cdot 10

200 + 40

240

⇥

Δ = 49 + 240

⇥ⓘ Partimos de

49

y avanzamos

240

en la recta numérica:

49 + 240

289

⇥

Δ = 289

⇥Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

⇥La fórmula de segundo grado da

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 7 - \sqrt{289}}{2 \cdot 6}

⇥

x_{1} = \frac{- 7 - \sqrt{289}}{2 \cdot 6}

⇥ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{289}

17

ya que

17^{2}

289

⇥ⅰ

2 \cdot 6

12

⇥

x_{1} = \frac{- 7 - 17}{12}

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

- 7 - 17

-24

⇥

x_{1} = - \frac{24}{12}

⇥Simplificamos la fracción

\frac{24}{12}

por el factor común

12

para obtener la nueva expresión:

2

⇥

x_{1} = -2

⇥La fórmula de segundo grado da

x_{2}

\frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- 7 + \sqrt{289}}{2 \cdot 6}

⇥

x_{2} = \frac{- 7 + \sqrt{289}}{2 \cdot 6}

⇥ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{289}

17

ya que

17^{2}

289

⇥ⅰ

2 \cdot 6

12

⇥

x_{2} = \frac{- 7 + 17}{12}

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

- 7 + 17

10

⇥

x_{2} = \frac{10}{12}

⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

\frac{10}{12}

\frac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2}

\frac{5}{6}

⇥

x_{2} = \frac{5}{6}

▶Soluciones obtenidas:

x = {-2; \frac{5}{6}}