puntos críticos de x^3-6x^2+9x+1 — solución paso a paso

1) Un polinomio es derivable en ℝ: sus puntos críticos son los ceros de su derivada

⇥1.1) Derivemos:

\frac{d}{d x} (x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 1)

⇥ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 1)

\frac{d}{d x} (x^{3})

+ \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})

+ \frac{d}{d x} (9 x)

+ 0

⇥

\frac{d}{d x} (x^{3})

+ \frac{d}{d x} (- 6 x^{2})

+ \frac{d}{d x} (9 x)

+ 0

⇥ⓘ La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{3})

3 x^{2}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

■Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (- 6 x^{2})

-6 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})

\frac{d}{d x} (9 x)

9

■Sumar 0 no cambia nada:

\frac{d}{d x} (9 x) + 0

\frac{d}{d x} (9 x)

⇥

3 x^{2} - 6 \cdot 2 x + 9

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

6 \cdot 2

12

⇥

3 x^{2} - 12 x + 9

⇥1.2) Resolvamos en

ℝ

3 x^{2} - 12 x + 9 = 0

⇥Como

3 \neq 0

, dividimos ambos miembros por

3

x^{2} - 4 x + 3 = 0

⇥Dada la forma cuadrática

a x^{2} + b x + c

, calculamos el discriminante:

Δ = b^{2} - 4 a c

. Aquí

a = 1

b = -4

c = 3

⇥

Δ = {(-4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 3

⇥ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

{(-4)}^{2}

(-4) \cdot (-4)

16

⇥

Δ = 16 - 4 \cdot 3

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

4 \cdot 3

12

⇥

Δ = 16 - 12

⇥ⓘ Partimos de

16

y retrocedemos

12

en la recta numérica:

16 - 12

4

⇥

Δ = 4

⇥Como

Δ > 0

, la ecuación tiene dos raíces:

⇥La fórmula de segundo grado da

x_{1}

\frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a}

\frac{- (-4) - \sqrt{4}}{2 \cdot 1}

⇥

x_{1} = \frac{4 - \sqrt{4}}{2}

⇥ⓘ La raíz cuadrada de un número real no negativo es el número no negativo cuyo cuadrado es ese número:

\sqrt{4}

2

ya que

2^{2}

4

⇥

x_{1} = \frac{4 - 2}{2}

⇥ⓘ El numerador y el denominador se calculan antes de la división:

4 - 2

2

⇥

x_{1} = \frac{2}{2}

⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

2

, su máximo común divisor:

\frac{2}{2}

1

⇥

x_{1} = 1