puntos de inflexión de 3x^5-10x^3 — solución paso a paso

1) Para

3 x^{5} - 10 x^{3}

en ℝ, busquemos dónde la segunda derivada se anula y cambia de signo

⇥1.1) Derivemos:

\frac{d}{d x} (3 x^{5} - 10 x^{3})

⇥ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (3 x^{5} - 10 x^{3})

\frac{d}{d x} (3 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 10 x^{3})

⇥

\frac{d}{d x} (3 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 10 x^{3})

⇥ⓘ Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (3 x^{5})

3 \cdot \frac{d}{d x} (x^{5})

\frac{d}{d x} (- 10 x^{3})

-10 \cdot \frac{d}{d x} (x^{3})

■La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{5})

5 x^{4}

\frac{d}{d x} (x^{3})

3 x^{2}

⇥

3 \cdot 5 x^{4} - 10 \cdot 3 x^{2}

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

3 \cdot 5

15

10 \cdot 3

30

⇥

15 x^{4} - 30 x^{2}

La primera derivada es

15 x^{4} - 30 x^{2}

⇥1.2) Derivemos:

\frac{d}{d x} (15 x^{4} - 30 x^{2})

⇥ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (15 x^{4} - 30 x^{2})

\frac{d}{d x} (15 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2})

⇥

\frac{d}{d x} (15 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2})

⇥ⓘ Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (15 x^{4})

15 \cdot \frac{d}{d x} (x^{4})

\frac{d}{d x} (- 30 x^{2})

-30 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})

■La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{4})

4 x^{3}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

⇥

15 \cdot 4 x^{3} - 30 \cdot 2 x

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

15 \cdot 4

(10 + 5) \cdot 4

10 \cdot 4 + 5 \cdot 4

40 + 20

60

30 \cdot 2

60

⇥

60 x^{3} - 60 x

La segunda derivada es

60 x^{3} - 60 x

⇥1.3) Resolvamos en

ℝ

60 x^{3} - 60 x = 0

⇥Podemos factorizar la expresión

60 x^{3} - 60 x

como

x \cdot (60 x^{2} - 60)

⇥Un producto es nulo si y solo si al menos uno de sus factores es nulo: igualamos cada factor a 0 y resolvemos

⇥⇥1.3.1) Resolvamos en

ℝ

x = 0

⇥⇥Solución encontrada:

x = 0

⇥⇥1.3.2) Resolvamos en

ℝ

60 x^{2} - 60 = 0

⇥⇥ⓘ Dividimos ambos miembros por

60

⇥⇥

x^{2} = 1

⇥⇥Los dos números cuyo cuadrado vale

1

son

-1

1

⇥⇥Soluciones obtenidas:

x = {-1; 1}

⇥1.4) Derivemos:

\frac{d}{d x} (60 x^{3} - 60 x)

⇥ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (60 x^{3} - 60 x)

\frac{d}{d x} (60 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 60 x)

⇥

\frac{d}{d x} (60 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 60 x)

⇥ⓘ Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (60 x^{3})

60 \cdot \frac{d}{d x} (x^{3})

\frac{d}{d x} (- 60 x)

-60

■La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{3})

3 x^{2}

⇥

60 \cdot 3 x^{2} - 60

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

60 \cdot 3

180

⇥

180 x^{2} - 60

x = -1

, el cero de la segunda derivada es de orden 1: este orden es impar, por lo que cambia la convexidad

Cerca de

-1

, la segunda derivada es negativa a la izquierda y positiva a la derecha: la curva pasa de cóncava a convexa

⇥

3 \cdot {(-1)}^{5} - 10 \cdot {(-1)}^{3}

⇥ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

{(-1)}^{5}

(-1) \cdot ... \cdot (-1)

, 5 veces =

-1

{(-1)}^{3}

(-1) \cdot (-1) \cdot (-1)

-1

■Multiplicar por -1 da el opuesto:

3 \cdot (-1)

-3

- 10 \cdot (-1)

10

⇥

- 3 + 10

⇥ⓘ Partimos de

-3

y avanzamos

10

en la recta numérica, pasando por encima del cero:

- 3 + 10

7

⇥

7

La ordenada es f(

-1

) =

7

⇥1.5) Derivemos:

\frac{d}{d x} (60 x^{3} - 60 x)

⇥ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (60 x^{3} - 60 x)

\frac{d}{d x} (60 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 60 x)

⇥

\frac{d}{d x} (60 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 60 x)

⇥ⓘ Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (60 x^{3})

60 \cdot \frac{d}{d x} (x^{3})

\frac{d}{d x} (- 60 x)

-60

■La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{3})

3 x^{2}

⇥

60 \cdot 3 x^{2} - 60

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

60 \cdot 3

180

⇥

180 x^{2} - 60

x = 0

, el cero de la segunda derivada es de orden 1: este orden es impar, por lo que cambia la convexidad

Cerca de

0

, la segunda derivada es positiva a la izquierda y negativa a la derecha: la curva pasa de convexa a cóncava

⇥

3 \cdot 0^{5} - 10 \cdot 0^{3}

⇥ⓘ Un producto con un factor nulo es nulo:

3 \cdot 0

0

10 \cdot 0

0

⇥

0 + 0

⇥ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

0 + 0

0

⇥

0

La ordenada es f(

0

) =

0

⇥1.6) Derivemos:

\frac{d}{d x} (60 x^{3} - 60 x)

⇥ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (60 x^{3} - 60 x)

\frac{d}{d x} (60 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 60 x)

⇥

\frac{d}{d x} (60 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 60 x)

⇥ⓘ Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (60 x^{3})

60 \cdot \frac{d}{d x} (x^{3})

\frac{d}{d x} (- 60 x)

-60

■La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{3})

3 x^{2}

⇥

60 \cdot 3 x^{2} - 60

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

60 \cdot 3

180

⇥

180 x^{2} - 60

x = 1

, el cero de la segunda derivada es de orden 1: este orden es impar, por lo que cambia la convexidad

Cerca de

1

, la segunda derivada es negativa a la izquierda y positiva a la derecha: la curva pasa de cóncava a convexa

⇥

3 \cdot 1^{5} - 10 \cdot 1^{3}

⇥

3 - 10

⇥ⓘ Partimos de

3

y retrocedemos

10

en la recta numérica, pasando por debajo del cero:

3 - 10

-7

⇥

-7

La ordenada es f(

1

) =

-7

▶Puntos de inflexión:

{(-1; 7); (0; 0); (1; -7)}

🖼/draw?f1=3*x%5E5+-+10*x%5E3&v=x&b=-2.0&e=2.0&min=-19.2&max=19.2&points=-1%2C7%3B0%2C0%3B1%2C-7