puntos de inflexión de f(x)=1/(x-2)

⇥1) Determinemos el dominio de

\frac{1}{x - 2}

⇥ Para que la expresión

\frac{1}{x - 2}

esté definida, debe cumplirse:

x - 2 \neq 0

⇥ⓘ Sumamos

2

a ambos miembros

⇥Solución encontrada:

x \neq 2

Un punto de inflexión debe pertenecer a la curva: nos mantenemos en el dominio

x \neq 2

⇥Para facilitar la derivación, transformamos la expresión

\frac{1}{x - 2}

{(x - 2)}^{-1}

⇥2) Derivemos:

\frac{d}{d x} ({(x - 2)}^{-1})

⇥Utilizamos la fórmula de derivación

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

con f =

x - 2

⇥ⓘ La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} ({(x - 2)}^{-1})

-1 \cdot \frac{d}{d x} (x - 2) \cdot {(x - 2)}^{-2}

⇥

-1 \cdot \frac{d}{d x} (x - 2) \cdot {(x - 2)}^{-2}

⇥ⓘ Multiplicar por -1 da el opuesto:

-1 \cdot \frac{d}{d x} (x - 2) \cdot {(x - 2)}^{-2}

- \frac{d}{d x} (x - 2) \cdot {(x - 2)}^{-2}

⇥

- \frac{d}{d x} (x - 2) \cdot {(x - 2)}^{-2}

⇥ⓘ Pasamos el factor al numerador o al denominador cambiando el signo de su exponente, para una base no nula:

- \frac{d}{d x} (x - 2) \cdot {(x - 2)}^{-2}

- \frac{\frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}

⇥

- \frac{\frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}

⇥ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (x - 2)

1 + 0

⇥

- \frac{1 + 0}{{(x - 2)}^{2}}

⇥ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

1 + 0

1

⇥

- \frac{1}{{(x - 2)}^{2}}

⇥Para facilitar la derivación, transformamos la expresión

- \frac{1}{{(x - 2)}^{2}}

-1 \cdot {(x - 2)}^{-2}

⇥3) Derivemos:

\frac{d}{d x} (-1 \cdot {(x - 2)}^{-2})

⇥ⓘ Multiplicar por -1 da el opuesto:

-1 \cdot {(x - 2)}^{-2}

- {(x - 2)}^{-2}

⇥

\frac{d}{d x} (- {(x - 2)}^{-2})

⇥Utilizamos la fórmula de derivación

\frac{d}{d x} (f^{n}) = n \cdot \frac{d}{d x} (f) \cdot f^{n - 1}

con f =

x - 2

⇥ⓘ La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (- {(x - 2)}^{-2})

- (-2 \cdot \frac{d}{d x} (x - 2) \cdot {(x - 2)}^{-3})

⇥

- (-2 \cdot \frac{d}{d x} (x - 2) \cdot {(x - 2)}^{-3})

⇥ⓘ Extraemos los signos menos: un número par de signos menos se cancela y un número impar deja un signo menos:

- (-2 \cdot \frac{d}{d x} (x - 2) \cdot {(x - 2)}^{-3})

2 \cdot \frac{d}{d x} (x - 2) \cdot {(x - 2)}^{-3}

⇥

2 \cdot \frac{d}{d x} (x - 2) \cdot {(x - 2)}^{-3}

⇥ⓘ Pasamos el factor al numerador o al denominador cambiando el signo de su exponente, para una base no nula:

2 \cdot \frac{d}{d x} (x - 2) \cdot {(x - 2)}^{-3}

\frac{2 \cdot \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{3}}

⇥

\frac{2 \cdot \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{3}}

⇥ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (x - 2)

1 + 0

⇥

\frac{2 \cdot (1 + 0)}{{(x - 2)}^{3}}

⇥ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

1 + 0

1

⇥

\frac{2}{{(x - 2)}^{3}}

La segunda derivada

\frac{2}{{(x - 2)}^{3}}

es nula en todas partes o nunca se anula en cada intervalo del dominio. El polo excluido no es un punto de inflexión

▶Puntos de inflexión:

\emptyset