puntos de inflexión de f(x)=-x^3+3x^2-1

1) Para

- x^{3} + 3 x^{2} - 1

en ℝ, busquemos dónde la segunda derivada se anula y cambia de signo

⇥1.1) Derivemos:

\frac{d}{d x} (- x^{3} + 3 x^{2} - 1)

⇥ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (- x^{3} + 3 x^{2} - 1)

\frac{d}{d x} (- x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + 0

⇥

\frac{d}{d x} (- x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + 0

⇥ⓘ La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (- x^{3})

- 3 x^{2}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

■Sumar 0 no cambia nada:

\frac{d}{d x} (3 x^{2}) + 0

\frac{d}{d x} (3 x^{2})

■Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (3 x^{2})

3 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})

⇥

- 3 x^{2} + 3 \cdot 2 x

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

3 \cdot 2

6

⇥

- 3 x^{2} + 6 x

⇥

6 x - 3 x^{2}

⇥Podemos factorizar la expresión como:

x \cdot (6 - 3 x)

⇥Factoricemos en

ℝ

(6 - 3 x)

⇥Extraemos

3

, el máximo común divisor de los coeficientes:

6 - 3 x

3 \cdot (2 - x)

⇥Factor encontrado:

2 - x

La primera derivada es

3 x \cdot (2 - x)

⇥1.2) Derivemos:

\frac{d}{d x} (3 x \cdot (2 - x))

⇥ⓘ Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (3 x \cdot (2 - x))

3 \cdot \frac{d}{d x} (x \cdot (2 - x))

⇥

3 \cdot \frac{d}{d x} (x \cdot (2 - x))

⇥Para

u1

x

v2

2 - x

, utilizamos la fórmula de derivación:

\frac{d}{d x} (u1 \cdot v2) = \frac{d}{d x} (u1) \cdot v2 + u1 \cdot \frac{d}{d x} (v2)

⇥1.3) Derivemos

u1

\frac{d}{d x} (x)

⇥ⓘ La derivada de

x

1

\frac{d}{d x} (x)

1

⇥

1

⇥1.4) Derivemos

v2

\frac{d}{d x} (2 - x)

⇥ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (2 - x)

0 + \frac{d}{d x} (- x)

⇥

0 + \frac{d}{d x} (- x)

⇥ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

0 + \frac{d}{d x} (- x)

\frac{d}{d x} (- x)

■La derivada de

x

1

\frac{d}{d x} (- x)

-1

⇥

-1

⇥1.5) Evaluamos la derivada obtenida (

u1 \cdot v2

)':

1 \cdot (2 - x) + x \cdot (-1)

⇥ⓘ Multiplicar por -1 da el opuesto:

x \cdot (-1)

- x

⇥

2 - x - x

⇥ⓘ Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

- x - x

-2 x

⇥

2 - 2 x

⇥1.6) Después continuamos la derivación:

⇥ⅰ

\frac{d}{d x} (x \cdot (2 - x))

2 - 2 x

⇥

3 \cdot (2 - 2 x)

⇥ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

3 \cdot (2 - 2 x)

6 - 6 x

⇥

6 - 6 x

La segunda derivada es

6 - 6 x

⇥1.7) Resolvamos en

ℝ

6 - 6 x = 0

⇥ⓘ Sumamos

6 x

a ambos miembros

⇥

6 = 6 x

⇥ⓘ Dividimos ambos miembros por

6

⇥

x = \frac{6}{6}

⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

6

, su máximo común divisor:

\frac{6}{6}

1

⇥Solución obtenida:

x = 1

⇥1.8) Derivemos:

\frac{d}{d x} (6 - 6 x)

⇥ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (6 - 6 x)

0 + \frac{d}{d x} (- 6 x)

⇥

0 + \frac{d}{d x} (- 6 x)

⇥ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

0 + \frac{d}{d x} (- 6 x)

\frac{d}{d x} (- 6 x)

■Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (- 6 x)

-6

⇥

-6

x = 1

, el cero de la segunda derivada es de orden 1: este orden es impar, por lo que cambia la convexidad

Cerca de

1

, la segunda derivada es positiva a la izquierda y negativa a la derecha: la curva pasa de convexa a cóncava

⇥

- 1^{3} + 3 \cdot 1^{2} - 1

⇥

- 1 + 3 - 1

⇥ⓘ Partimos de

-1

y avanzamos

3

en la recta numérica, pasando por encima del cero:

- 1 + 3

2

⇥

2 - 1

⇥ⓘ Partimos de

2

y retrocedemos

1

en la recta numérica:

2 - 1

1

⇥

1

La ordenada es f(

1

) =

1

▶Puntos de inflexión:

{(1; 1)}

🖼/draw?f1=-x%5E3+%2B+3*x%5E2+-+1&v=x&b=-1.0&e=3.0&min=-1.4&max=3.4&points=1%2C1