puntos de inflexión de f(x)=x^3-6x^2+7

1) Para

x^{3} - 6 x^{2} + 7

en ℝ, busquemos dónde la segunda derivada se anula y cambia de signo

⇥1.1) Derivemos:

\frac{d}{d x} (x^{3} - 6 x^{2} + 7)

⇥ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (x^{3} - 6 x^{2} + 7)

\frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + 0

⇥

\frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + 0

⇥ⓘ La derivada de

x^{n}

n x^{n - 1}

\frac{d}{d x} (x^{3})

3 x^{2}

\frac{d}{d x} (x^{2})

2 x

■Sumar 0 no cambia nada:

\frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + 0

\frac{d}{d x} (- 6 x^{2})

■Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (- 6 x^{2})

-6 \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})

⇥

3 x^{2} - 6 \cdot 2 x

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

6 \cdot 2

12

⇥

3 x^{2} - 12 x

⇥Podemos factorizar la expresión como:

x \cdot (3 x - 12)

⇥Factoricemos en

ℝ

(3 x - 12)

⇥Extraemos

3

, el máximo común divisor de los coeficientes:

3 x - 12

3 \cdot (x - 4)

⇥Factor encontrado:

x - 4

La primera derivada es

3 x \cdot (x - 4)

⇥1.2) Derivemos:

\frac{d}{d x} (3 x \cdot (x - 4))

⇥ⓘ Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (3 x \cdot (x - 4))

3 \cdot \frac{d}{d x} (x \cdot (x - 4))

⇥

3 \cdot \frac{d}{d x} (x \cdot (x - 4))

⇥Para

u1

x

v2

x - 4

, utilizamos la fórmula de derivación:

\frac{d}{d x} (u1 \cdot v2) = \frac{d}{d x} (u1) \cdot v2 + u1 \cdot \frac{d}{d x} (v2)

⇥1.3) Derivemos

u1

\frac{d}{d x} (x)

⇥ⓘ La derivada de

x

1

\frac{d}{d x} (x)

1

⇥

1

⇥1.4) Derivemos

v2

\frac{d}{d x} (x - 4)

⇥ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (x - 4)

1 + 0

⇥

1 + 0

⇥ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

1 + 0

1

⇥

1

⇥1.5) Evaluamos la derivada obtenida (

u1 \cdot v2

)':

1 \cdot (x - 4) + x \cdot 1

⇥

x - 4 + x

⇥ⓘ Agrupamos los términos semejantes sumando sus coeficientes:

x + x

2 x

⇥

2 x - 4

⇥1.6) Después continuamos la derivación:

⇥ⅰ

\frac{d}{d x} (x \cdot (x - 4))

2 x - 4

⇥

3 \cdot (2 x - 4)

⇥ⓘ Desarrollamos por distributividad, multiplicando cada término de la suma por el otro factor:

3 \cdot (2 x - 4)

6 x - 12

⇥

6 x - 12

La segunda derivada es

6 x - 12

⇥1.7) Resolvamos en

ℝ

6 x - 12 = 0

⇥ⓘ Sumamos

12

a ambos miembros

⇥

6 x = 12

⇥ⓘ Dividimos ambos miembros por

6

⇥

x = \frac{12}{6}

⇥ⓘ Simplificamos la fracción dividiendo el numerador y el denominador por

6

, su máximo común divisor:

\frac{12}{6}

2

⇥Solución encontrada:

x = 2

⇥1.8) Derivemos:

\frac{d}{d x} (6 x - 12)

⇥ⓘ La derivada de una suma es la suma de las derivadas:

\frac{d}{d x} (6 x - 12)

\frac{d}{d x} (6 x) + 0

⇥

\frac{d}{d x} (6 x) + 0

⇥ⓘ Sumar 0 no cambia nada:

\frac{d}{d x} (6 x) + 0

\frac{d}{d x} (6 x)

■Un factor constante se mantiene delante de la derivada: la de

k u

k \cdot u'

\frac{d}{d x} (6 x)

6

⇥

6

x = 2

, el cero de la segunda derivada es de orden 1: este orden es impar, por lo que cambia la convexidad

Cerca de

2

, la segunda derivada es negativa a la izquierda y positiva a la derecha: la curva pasa de cóncava a convexa

⇥

2^{3} - 6 \cdot 2^{2} + 7

⇥ⓘ Las potencias se calculan antes que las multiplicaciones, sumas y restas. Una potencia de exponente entero estrictamente positivo es un producto repetido:

2^{3}

2 \cdot 2 \cdot 2

8

2^{2}

2 \cdot 2

4

⇥

8 - 6 \cdot 4 + 7

⇥ⓘ Las multiplicaciones se realizan antes que las sumas y las restas:

6 \cdot 4

24

⇥

8 - 24 + 7

⇥ⓘ Partimos de

8

y retrocedemos

24

en la recta numérica, pasando por debajo del cero:

8 - 24

-16

⇥

- 16 + 7

⇥ⓘ Partimos de

-16

y avanzamos

7

en la recta numérica, acercándonos al cero:

- 16 + 7

-9

⇥

-9

La ordenada es f(

2

) =

-9

▶Puntos de inflexión:

{(2; -9)}

🖼/draw?f1=x%5E3+-+6*x%5E2+%2B+7&v=x&b=0.0&e=4.0&min=-28.2&max=10.2&points=2%2C-9